C = (comparați cu A + B), D = (comparați cu AB).
Observăm că transformarea C = + este degenerată.
Luați în considerare o transformare nondegenerată.
Conversie -1. care ia fiecare vector x la un vector x. se numește transformarea inversă a spațiului liniar L.
Se poate demonstra că egalitatea
Dacă o transformare nondegenerată într-o anumită bază este dată de o matrice nondegenerată A, atunci transformarea inversă -1 este dată în această bază de către matricea A -1.
O transformare care are un inversat se numește o transformare reversibilă.
Dacă transformarea inversibilă este liniară, atunci transformarea inversă -1 este de asemenea liniară; conform definiției 9,
-1 (+) = -1 () = -1 () + -1 (),
-1 (1) = -1 () = 1-1 ().
Evident, operatorul de identitate este inversul lui.
Din rezultatele obținute rezultă că operațiile asupra transformărilor liniare au aceleași proprietăți ca și operațiile pe matrice, de exemplu, adăugarea este comutativă și asociativă:
multiplicarea este asociativă, dar nu comutativă:
Transformarea identității joacă rolul unei unități printre transformări, iar cea zero joacă rolul de zero.
Vectorii proprii și valorile proprii ale transformării liniare
Să presupunem că avem o matrice pătrată de ordin n
Formăm pentru ea matricea
unde l este un număr arbitrar, iar E este matricea identității. Matricea (A - 1E) se numește matricea caracteristică a matricei A și ecuația
| | A-lE | = 0 sau = 0
se numește ecuația caracteristică a matricei A.
Evident, determinantul | A - lE | este un polinom de grad n în raport cu l. Acest polinom este numit, de asemenea, polinomul caracteristic al matricei A, rădăcinile acestei polinomului sunt numite rădăcini caracteristice (numere) ale matricei A.
Se poate demonstra că astfel de matrici au aceleași polinoame caracteristice și, prin urmare, aceleași rădăcini caracteristice.
După cum știm, există o corespondență unu-la-unu între matrici pătrat și transformări liniare, iar matricile care definesc transformarea liniară în diferite baze sunt similare. Prin urmare, deși o transformare liniară în diferite baze este dată de matrice diferite, totuși, toate aceste matrici au același set de rădăcini caracteristice. Prin urmare, rădăcinile caracteristice ale matricei de transformare sunt numite rădăcinile caracteristice ale transformării în sine. Să luăm în considerare una dintre aplicațiile rădăcinilor caracteristice ale transformării.
Fie Ln un spațiu liniar și lăsați Ln ® L n să fie o transformare liniară a acestui spațiu. Un vector nenazos u este numit vector propriu al unei transformări liniare. dacă este transformată de această transformare în vectorul lu. și anume
unde l este un număr real. În acest caz, se numește o valoare proprie sau o valoare proprie a unei transformări liniare. corespunzătoare vectorului propriu u.
Ca între transformările liniare și matrici în dată bază o singură corespondență, atunci aceste concepte pot fi aplicate matrici. Astfel, în cazul în care A este - o matrice pătrată (matricea de transformare liniară în unele baze), X - coordonatele vectoriale matrice coloană și ¹ 0 (în aceeași bază), atunci vectorul este numit un vector propriu al A, iar numărul l - eigenvalue de matrice dacă AX = lX.
Fie u un vector propriu al unei transformări liniare. dat într-o anumită bază B prin matricea A, l este valoarea proprie corespunzătoare acestui vector, adică u = l și. și nr. 0. Denumim X = coloana de coordonate a vectorului u în baza B, apoi în forma matricei ecuația u = / u va fi scrisă astfel
AX = lX Þ AX - 1X = 0, (A - 1E) X = O.
Dacă A =. apoi A = 1E =,
iar egalitatea (A - 1E) X = 0 este echivalentă cu sistemul de ecuații liniare
Deoarece X - matricea coloană nenul, acest sistem are o soluție nontrivial, care este posibilă doar atunci când principalul factor determinant al acestui sistem de matrice este zero, adică atunci când condiția este îndeplinită.
În consecință, valorile proprii l ale transformării (sau matricea A) sunt rădăcinile ecuației. și anume rădăcinile caracteristice reale ale acestei transformări (matrice).
În schimb, permiteți-i să fie rădăcina caracteristică a transformării. și anume l0 este rădăcina polinomului caracteristic. Apoi, pentru l = 10, determinantul sistemului (*) este zero, prin urmare, sistemul are o soluție netrivială. Deoarece sistemul (*) este echivalent cu ecuația matricei. sau. atunci soluția sistemului este coloana X =. care poate fi considerată o coloană de coordonate a vectorului și. satisfăcând ecuația u = l0u. și anume vectorul propriu al transformării. corespunzătoare valorii proprii 10.
Astfel, am demonstrat că rădăcinile reale ale caracteristicii unei transformări liniare, în cazul în care acestea există, și numai ei sunt valorile proprii ale acestei transformări.
Valoarea proprie se numește m-fold. dacă este o rădăcină m-ori a ecuației caracteristice. Dacă valoarea proprie este o rădăcină simplă a ecuației caracteristice, atunci se numește o eigenvalue simplă.
Din cele de mai sus urmează algoritmul de identificare a valorilor intrinseci și vectorilor proprii ai transformării:
1. Alegeți o bază arbitrară într-un spațiu liniar dat.
2. Gasiti matricea de transformare A pe aceasta baza.
3. Găsiți numerele caracteristice ale transformării. rezolvarea ecuației
și aleg dintre ei pe cele reale, care sunt propriile lor valori. Dacă nu există rădăcini caracteristice reale, atunci nu există valori proprii sau vectori proprii.
4. Construiți sistemul (7.1)
și, punând l egal la una dintre valorile proprii li. găsiți o soluție nonzero Xi = a acestui sistem. Vectorul rezultat ui = Xi = u este un vector propriu care corespunde valorii proprii li.
5. Paragraful 4 al acestui algoritm este repetat pentru fiecare valoare proprie.
Rețineți că deoarece pentru fiecare valoare proprie li sistemul (7. 1) are o soluție stabilită, atunci pentru această transformare există un număr infinit de vectori proprii care corespund valorii proprii li.
Găsiți vectorii proprii ai transformării. dat de matricea A =.
Elementele 1 și 2 ale acestui algoritm au fost deja implementate. Să luăm în considerare cel de-al treilea element imediat. Formăm ecuația caracteristică și găsim rădăcinile ei:
Acestea sunt numere reale, deci sunt valori proprii.
Formăm un sistem al formei (7.1): Să găsim soluțiile acestui sistem pentru fiecare dintre valorile proprii obținute.
Când obținem rangul acestui sistem este evident egal cu 1, atunci sistemul este echivalent cu o ecuație. rezolvând care, găsim x1 = 3x2. Am setat x2 = t. obținem x1 = 3t. atunci vectorul propriu u1 = (3t, t) corespunde valorii proprii.
Când obținem un sistem al cărui rang este de asemenea egal cu 1, de aceea este echivalent cu ecuația x1 + x2 = 0, de unde x1 = -x2. noi primim. de unde avem un eigenvector u2 = (-s. s) corespunzând valorii proprii l1 = - 2.
Astfel, avem o familie de vectori proprii u1 =, Corespunzător l1 = eigenvalue 2, și familia u2 = vectori proprii (3t t.) (- s. S). corespunzând valorii proprii l1 = - 2.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: