Sisteme liniare de ecuații diferențiale cu coeficienți variabili

sistem liniar normal de ecuații diferențiale cu coeficienți scrise ca \ varierea [>>> = = \ sum \ limits_ ^ n> \ stânga (t \ dreapta) \ stânga (t \ dreapta)> + \ stânga (t \ dreapta),> \; \; \] Unde \ (\ din stânga (t \ dreapta)> \) - funcții necunoscute care continuă și diferențiabilă la un anumit interval \ (. \ Stânga [\ dreapta] \) Coeficienții \ (> \ stânga (t \ dreapta)> \) și condițiile constante \ (\ din stânga (t \ dreapta) \) sunt funcții continue definite pe intervalul \ (\ stânga [\ dreapta]. \)

Folosind notația vectorială matrice, acest sistem de ecuații poate fi scris ca \ [> \ stânga (t \ dreapta) = A \ stânga (t \ dreapta)> \ stânga (t \ dreapta) +> \ stânga (t \ dreapta), \ ] unde \ [> \ stânga (t \ dreapta) = \ stânga (> \ stânga (t \ dreapta)> \\ \ stânga (t \ dreapta)> \\ \ vdots \\ \ stânga (t \ dreapta)> \ end> \ right),> \; \; >> \ left (t \ right) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ left (t \ right)> \\> \ stânga (t \ dreapta) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \\> \ stânga (t \ dreapta) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ Stânga (t \ dreapta)> \ end> ​​\ dreapta),> \; \;> \ stânga (t \ dreapta) = \ stânga (> \ stânga (t \ dreapta)> \\ \ stânga (t \ dreapta )> \\ \ vdots \\ \ stânga (t \ dreapta)> \ end> ​​\ dreapta).> \] In, matrice \ generală (A \ stânga (t \ dreapta) \), iar funcția de vector \ (> \ stânga (t \ dreapta), \) \ (> \ left (t \ right) \) poate lua atât valori reale cât și complexe.

Sistemul omogen corespunzător cu coeficienți variabili în formă vectorică are forma \ [> \ left (t \ right) = A \ left (t \ right)> \ left (t \ right)

Sistemul fundamental de soluții și matricea fundamentală

Funcția Vector \ (_ 1> \ stânga (t \ dreapta), _ 2> \ stânga (t \ dreapta), \ ldots, _n> \ stânga (t \ dreapta) \) sunt liniar dependente pe intervalul \ (\ stânga [\ dreapta], \), în cazul în care există un număr \ (,, \ ldots ,, \) nu sunt simultan egale cu zero, că identitatea \ [_1> \ stânga (t \ dreapta) + _2> \ stânga (t \ dreapta) + \ cdoturi + _n> \ stânga (t \ dreapta) \ equiv 0,> \; \; \ Dreapta].> \] Dacă se efectuează această identitate numai dacă \ [= = \ cdots = = 0, \] funcția vector \ (_ i> \ stânga (t \ dreapta) \) a spus să fie liniar independent pentru un interval predeterminat.

Orice sistem \ (n \) de soluții independente liniar \ {_1> \ left (t \ right), _2> \ left (t \ right), \ ldots, .

O matrice pătrată \ (\ Phi \ din stânga (t \ dreapta), \) coloanele din care sunt formate soluții liniar independente \ (_ 1> \ stânga (t \ dreapta), _ 2> \ stânga (t \ dreapta), \ ldots, _n> \ stânga (t \ dreapta), \) se numește matricea fundamentală a sistemului de ecuații. Se pare că acest lucru: \ [\ Phi \ din stânga (t \ dreapta) = \ stânga (>> \ din stânga (t \ dreapta) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ left (t \ right)> \\> \ stânga (t \ dreapta) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \\> \ stânga (t \ dreapta) >> \ stânga (t \ dreapta)> \ vdots > \ Stânga (t \ dreapta)> \ end> ​​\ dreapta) \] unde \ (> \ stânga (t \ dreapta)> \) - coordonatele soluțiilor vectoriale liniar independente \ (_ 1> \ stanga (t \ dreapta), _2> \ stânga (t \ dreapta), \ ldots, _n> \ stânga (t \ dreapta). \

Observăm că matricea fundamentală \ (\ Phi \ left (t \ right) \) este non-degenerată, adică, pentru că are întotdeauna o \ matrice inversă (> \ stânga (t \ dreapta). \) Deoarece matricea fundamentală cuprinde \ (n \) soluții liniar independente, atunci când este înlocuit într-un sistem omogen de ecuații obține identitatea \ [\ Phi „\ stânga ( (. t \ dreapta) \ Phi \ stânga (t \ dreapta) \] Multiplicarea această ecuație pe dreapta de funcție inversă \ (> \ stânga (t \ dreapta) t \ dreapta) \ echiv A \ stânga: \) \ [> \ stânga (t \ dreapta) \ echiv A \ stânga (t \ dreapta) \ Phi \ stânga (t \ dreapta)> \ stânga (t \ dreapta),> \; \;> \ stânga (t \ dreapta)> \. ] Această relație determină în mod unic un sistem omogen de ecuații dacă este dată o matrice fundamentală.

Soluția generală a sistemului omogen este exprimat în termeni de matricea fundamentală \ [_ 0> \ stânga (t \ dreapta) = \ Phi \ din stânga (t \ dreapta) \ mathbf, \] unde \ (\ mathbf \) - \ (n \) - vector dimensional format din numere arbitrare.

Menționăm un caz special interesant al sistemelor omogene. Se pare că dacă produsul matricei \ (A \ left (t \ right) \) și integralul acestei matrice sunt comutative. și anume \ [A \ stânga (t \ dreapta) \ cdot \ int \ limits_a ^ t = \ int \ limits_a ^ t \ cdot A \ stânga (t \ dreapta), \] matricea \ fundamentală (\ Phi \ stânga (t \ dreapta) \) pentru sistemul de ecuații are forma \ [\ Phi \ din stânga (t \ dreapta) = >>. \] această proprietate deține pentru matrici simetrice, în special, în cazul matricelor diagonale.

Determinantul Vronsky și formula Liouville-Ostrogradsky

Soluțiile sistemului de ecuații omogene sunt un sistem fundamental dacă și numai dacă soluția corespunzătoare a ecuației (1) Wronskianul este diferit de zero la un anumit punct \ (t) al intervalului \ (\ left [\ right].)

Soluțiile \ (_ 1> \ stânga (t \ dreapta), _ 2> \ stânga (t \ dreapta), \ ldots, _n> \ stânga (t \ \) dacă și numai dacă Wronskian este identic egal cu zero în acest interval.

Pentru sistemul de luare Wronskian \ (_ 1> \ stânga (t \ dreapta), _ 2> \ stânga (t \ dreapta), \ ldots, _n> \ stânga (t \ dreapta) \) satisface formula Liouville Ostrogradskii. \ [W \ stânga (t \ dreapta) = \ stânga (\ dreapta) d \ tau >>> \] unde \ (\ stânga (\ dreapta)> \) - urme matrice \ (\), adică suma tuturor elementelor diagonale: \ [\ text\ Stânga (\ dreapta) => \ stânga (\ tau \ dreapta) +> \ stânga (\ tau \ dreapta) + \ cdots +> \ stânga (\ tau \ dreapta). \] Formula Liouville Ostrogradskii poate fi utilizat pentru a construi soluția generală a unui sistem omogen dacă este cunoscută o soluție particulară a acestui sistem.

Metoda de variație a constantelor (metoda Lagrange)

Considerăm acum sistemele neomogene, care sunt în formă vectorială matrice poate fi scris ca \ [\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) = A \ stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta) + \ mathbf \ stânga ( t \ dreapta). \] soluţia generală a acestui sistem este suma soluției totală \ (_ 0> \ stânga (t \ dreapta) \) sisteme omogene și soluții particulare \ (_ 1> \ stânga (t \ dreapta) \) neomogene corespunzătoare sistem, adică \ [\ Stânga (t \ dreapta) = _0> \ stânga (t \ dreapta) + _1> \ stânga (t \ dreapta)> = + _1> \ stânga (t \ dreapta),> \] unde \ (\ Phi \ left (t \ right) \) este o matrice fundamentală, \ (\ mathbf \) este un vector de număr arbitrar.

Cea mai obișnuită metodă pentru rezolvarea sistemelor neomogene este metoda de variație a constantelor (metoda Lagrange). Cu această metodă, în locul vectorului constant \ (\ mathbf \) considerăm vectorul \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta), \) ale căror componente sunt funcții continuu derivabile ale variabilei \ independente (t, \) adică cred \ [\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) = \ Phi \ din stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta). \] Substituind această expresie într-un sistem eterogen, vom găsi vectorul necunoscut \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta): \) \ [\ impun \ stânga (t \ dreapta) = A \ stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta) + \ mathbf \ stânga (t \ dreapta),> \ ; \; \ Stânga (t \ dreapta)> + \ Phi \ din stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta)> = \ stânga (t \ dreapta)> + \ mathbf \ stânga (t \ dreapta),> \ ; \; \ Stânga (t \ dreapta) = \ mathbf \ din stânga (t \ dreapta).> \] Având în vedere că matricea \ (\ Phi \ din stânga (t \ dreapta) \) nesingular, înmulțim ultima ecuație pe stânga de \ (> \ stânga (t \ dreapta): \) \ [> \ stânga (t \ dreapta) \ Phi \ stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta) => \ stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga ( t \ dreapta),> \; \; \ Stânga (t \ dreapta) => \ stânga (t \ dreapta) \ mathbf \ stânga (t \ dreapta).> \] După integrarea obține vectorul \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta). \)

Articole similare

• Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Trimiteți-le prietenilor: