Rangul matricei

Rangul unui sistem de rânduri (coloane) dintr-o matrice cu rânduri și coloane reprezintă numărul maxim de rânduri (coloane) independente liniar. Câteva rânduri (coloane) sunt numite liniar independente dacă niciuna dintre ele nu este exprimată liniar prin celelalte. Rangul unui sistem de rang este întotdeauna egal cu rangul sistemului de coloane, iar acest număr este numit rangul matricei.







Rangul matricei

Să fie dat un sistem

cu matrice A și matrice extinsă:

Acest sistem de ecuații (1.1) poate:

1. Nu aveți soluții.

2. Aveți o soluție unică.

3. Aveți multe soluții.

Pentru a studia sistemul de ecuații algebrice liniare (SLAE) înseamnă:

1. Identificați un sistem comun sau inconsistent, adică are o soluție sau nu.

2. Dacă sistemul este compatibil, atunci un sistem sigur sau nedefinit, adică câte decizii are sistemul.

3. Dacă sistemul este sigur, găsiți singura soluție.

4. Dacă sistemul este nedefinit, descrieți setul de soluții.







Criteriul de consistență a sistemului este următoarea teoremă.

Teorema 1. Kronecker-Capelli.

Pentru ca sistemul (1.1) să fie compatibil, este necesar și suficient ca rangul matricei A să fie egal cu rangul matricei extinse A.

rang A = rang. (1.24)

Teoremă 2. Dacă rangul matricei unui sistem comun este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 3. Dacă rangul matricei sistemului comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un set infinit de soluții.

Plecând de la aceste teoreme, putem indica următoarea regulă pentru soluția sistemului (1.1).

Găsiți rangul matricelor A și.

Dacă rangul A nu este egal cu rangul,

atunci sistemul este incompatibil, adică nu are soluții.

Dacă rangul A = rang = r, atunci pot exista două cazuri:

1) r = n (numărul de necunoscuți). Apoi, prin Teorema 2, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită fie prin formulele lui Cramer, fie printr-o matrice inversă, fie prin metoda Gauss.

2) r

Pentru orice valori ale celor necunoscuți liberi xr + 1 = C1. xr + 2 = C2. xn = Cn-r, sistemul (1.25) are o soluție. Acesta poate fi găsit prin formulele lui Cramer sau prin metoda Gauss.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: