Metoda de inducție matematică

Metoda inducției matematice este o modalitate importantă de a demonstra fraze (afirmații) care depind de un argument natural.

Metoda inducției matematice este după cum urmează:

1. P (1) este o propoziție adevărată (declarație);
2. P (n) rămâne o propoziție adevărată (afirmație) dacă n este mărită cu una, adică P (n + 1) este o propoziție adevărată.

1. Faza de verificare: se verifică dacă teza (declarația) P (1) este adevărată.
2. Etapa probei: se presupune că fraza P (n) este adevărată, iar adevărul propoziției P (n + 1) (n este mărit cu unul) este dovedit.

Observație 1. În unele cazuri, metoda de inducție matematică este folosită în următoarea formă:

Fie m un număr întreg pozitiv, m> 1, iar P (n) este o propoziție în funcție de n. n ≥ m.

1. P (m) este valabil;
2. P (n) fiind o propoziție adevărată, implică adevărul propoziției P (n + 1) pentru orice număr natural n. n ≥ m. atunci P (n) este o propunere adevărată pentru orice număr natural n. n ≥ m.

În cele ce urmează vom considera exemple de aplicare a metodei de inducere matematică.

Exemplul 1. Dovediți următoarele egalități

g) formula binomică Newton:

Soluția. a) Pentru n = 1, egalitatea ia forma 1 = 1, prin urmare, P (1) este adevărat. Să presupunem că egalitatea dată este valabilă, adică deține. Este necesar să se verifice (dovedește) că P (n + 1), adică adevărat. Deoarece (folosind ipoteza de inducție) obținem că este, P (n + 1) este o afirmație adevărată.

Astfel, conform metodei de inducție matematică, egalitatea inițială este valabilă pentru orice număr natural n.

Observația 2. Acest exemplu ar putea fi rezolvat într-un alt mod. Într-adevăr, suma este de 1 + 2 + 3 +. + n este suma primelor n termeni ai progresiei aritmetice cu primul termen a1 = 1 și diferența d = 1. Prin formula binecunoscută, obținem

b) Pentru n = 1, egalitatea ia forma: 2 · 1 - 1 = 1 2 sau 1 = 1, adica P (1) este adevarata. Să presupunem că are loc egalitatea 1 + 3 + 5 +. + (2n - 1) = n 2 și dovedește că P (n + 1) deține: 1 + 3 + 5 +. + (2n-1) + (2 (n + 1) -1) = (n + 1) 2 sau 1 + 3 + 5 +. + (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1) 2.

Folosind ipoteza de inducție, obținem 1 + 3 + 5 +. + (2n-1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2.

Astfel, P (n + 1) este adevărat și, prin urmare, se dovedește egalitatea necesară.

Observația 3. Acest exemplu poate fi rezolvat (similar celui precedent) fără a utiliza metoda de inducție matematică.

c) Pentru n = 1, egalitatea este adevărată: 1 = 1. Să presupunem că egalitatea este adevărată și arată că adevărul lui P (n) implică adevărul lui P (n + 1). Într-adevăr, și ca 2n 2 + 7N + 6 = (2n + 3) (n + 2), obținem și, prin urmare, ecuația originală este valabilă pentru orice număr natural n.

d) Pentru n = 1, egalitatea deține: 1 = 1. Să presupunem că avem și dovedim asta

e) Afirmația lui P (1) este valabilă: 2 = 2. Să presupunem că egalitatea este valabilă și că dovedim că implică egalitate Într-adevăr,

Prin urmare, egalitatea originală este valabilă pentru orice număr natural n.

f) P (1) este valabil: 1/3 = 1/3. Să presupunem că egalitatea P (n) :. Arătăm că ultima egalitate implică următoarele:

Într-adevăr, ținând seama de faptul că P (n) deține, obținem

Astfel, egalitatea este dovedită.

g) Pentru n = 1, avem a + b = b + a și, prin urmare, egalitatea deține.

Să presupunem că formula binomială Newton este valabilă pentru n = k. care este, Apoi Folosind egalitatea pe care o primim

Exemplul 2. Dovediți inegalitățile

a) inegalitatea Bernoulli: (1 + a) n ≥ 1 + n a. a> -1, n O N.

și vom arăta că atunci (1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) a.

Într-adevăr, pentru că a> -1 implică + 1> 0, înmulțind apoi pe ambele părți ale (1) la (a + 1), obținem (1 + a) n (1 + a) ≥ (1 + na) (1 + (1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) a + na 2 Deoarece na 2 ≥ 0, prin urmare, (1 + a) n + 1 ≥ 1 + 2 ≥ 1 + (n + 1) a.

Astfel, dacă P (n) este adevărat, atunci P (n + 1) este adevărat, deci, conform principiului inducției matematice, inegalitatea lui Bernoulli este valabilă.

Luați în considerare următoarele două cazuri:

c) Să presupunem că x1, x2. xn sunt numere pozitive arbitrare. Luați în considerare următoarele numere pozitive: Din moment ce produsul lor este egal cu unul: conform inegalității b), rezultă că de unde

d) P (1) este declarația justă: sin 2 a + cos 2 a = 1. Să presupunem că P (n) este adevărata afirmație: sin 2n a + cos 2n a ≤ 1 și arată că P (n + 1). De fapt, sin 2 (n + 1) + cos 2 (n + 1) a = sin 2n un · păcat 2a + cos 2n o · cos 2 un 2n un + cos 2n a ≤ 1 (dacă păcatul 2a ≤ 1 , apoi cos 2 a 2 a ≤ 1, apoi sin 2 a 2 n a + cos 2 n ≤ 1 și semnul egalității este atins numai pentru n = 1.

e) Pentru n = 1 afirmația este valabilă: 1 3/2.

Să presupunem că dovedim și faptul că luând în considerare P (n), obținem

f) Luând în considerare Observația 1. să verificăm P (10): 2 10> 10 3. 1024> 1000, prin urmare, pentru n = 10 afirmația este validă. Presupunem că 2 n> n 3 (n> 10) și dovedește P (n + 1), adică 2 n +1> (n + 1) 3.

Deoarece n> 10 sau au presupune că 2n 3> n 2 + 3n 3 + 3n + 1 sau 3 n> 3n 2 + 3n + 1. Folosind inegalitatea (n 2> n 3), obținem 2 n +1 = 2 n · 2 = 2 n + 2 n> n 3 + n 3> n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3.

Astfel, conform metodei de inducție matematică, pentru orice număr întreg pozitiv n O N. n ≥ 10 avem 2 n> n 3.

Exemplul 3. Dovediți că pentru orice n N N

a) n (2n 2 - 3n + 1) este divizibil cu 6,

b) 6 2n -2 + 3 n +1 + 3 n -1 este divizibil cu 11.

Soluția. a) P (1) este declarația adevărată (0 este divizibilă cu 6). Fie P (n) deține, adică n (2n 2 - 3n + 1) = n (n - 1) (2n - 1) este divizibil cu 6. Vom arăta că deține P (n + 1), adică, (n + 1) n (2n + 1) este divizibil cu 6. Într-adevăr, deoarece

Trimiteți-le prietenilor: