Foarte des în ecuațiile sub semnul modulului există construcții destul de complexe, care ar fi extrem de dificil de dezvăluit și apoi rezolvate "înainte". În astfel de cazuri, există numeroase tehnici și remarci care fac posibilă accelerarea considerabilă a calculelor.
Una dintre aceste metode este de a lua în considerare gama de valori ale modulului (profesorii numesc această soluție prin metoda efectelor). Esența lui poate fi descrisă printr-o singură propoziție: "Suma numerelor non-negative este zero dacă și numai dacă fiecare dintre aceste numere este zero".
Astăzi vom continua să studiem construcțiile care conțin semnul modulului funcției și să trecem la construcții mai complexe atunci când cele două sau ecuația în sine conțin o funcție nestandardă.
Un pic de teorie
În primul rând, amintim definiția unui modul: modulul unui număr $ x $ este fie numărul în sine (presupunând că este ne-negativ), fie numărul minus dacă este negativ:
Această intrare este o definiție algebrică, deoarece aici este utilizată numai terminologia algebrică și geometria nu este implicată în nici un fel. Iar această definiție ne permite să încheiem următorul fapt: modulul unui număr este întotdeauna ne-negativ:
\ [\ left | x \ dreapta | \ ge 0 \]
De aceea, uneori se numește valoare absolută, adică distanța de la 0 la acest număr pe linia numărului. Și este modul în care modulul unei funcții este întotdeauna un număr nonnegativ care ne permite să rezolvăm o întreagă clasă de probleme care altfel ar fi foarte problematice.
Rezolvați probleme reale
Exemplul nr. 1
Pentru a rezolva o astfel de expresie, să ne amintim mai întâi cum este rezolvată cea mai simplă construcție cu un modul, adică o ecuație cu forma $ \ left | f \ right | = g $.
Este destul de ușor de rezolvat. Sunt considerate două cazuri: în primul caz $ f $ este nonnegativ - în acest caz modulul funcțional este eliminat fără modificări și se dovedește că $ f $ este egal cu $ g $. Și în cel de-al doilea caz $ f $ este negativ - în acest caz, modulul este deschis cu un semn minus, așa cum deja știm din definiție. Să scriem un set de sisteme:
Dar toate aceste lucruri funcționează numai cu condiția ca modulul de funcții din expresie să fie unul și avem două simultan astăzi. Ce să facem în această situație?
Să observăm că, în plus față de două module, există o expresie, valoarea căreia 0. Dar, pe de altă parte, putem scrie următoarele:
În acest caz, suma celor două elemente de mai sus vor fi, de asemenea dat un anumit număr (suna-l $ k $), care este mai mare sau egal cu 0. În acest caz, suntem obligați să-l facă un strict egal cu 0. Aceasta înseamnă că suntem mulțumiți cu doar o singură opțiune atunci când fiecare dintre module este 0, adică putem scrie:
Cu alte cuvinte, suma a două numere, fiecare dintre care nu este mai mică de 0, dă un total de zero numai când fiecare dintre ele este egal cu 0, adică cerințele trebuie îndeplinite simultan. Prin urmare, scriem sistemul:
Modulul funcției este 0 când expresia submodulului este 0, adică:
Să rezolvăm fiecare dintre expresiile primite separat. Rezolva primul:
\ [x \ stânga (1-x \ dreapta) \ stânga (1 + x \ dreapta) = 0 \]
Pentru trei astfel de valori identitatea este resetată.
Acum, să ne uităm la a doua expresie. O rezolvăm folosind formula Vieta:
\ [stânga (x + 2 \ dreapta) \ stânga (x-1 \ dreapta) = 0 \]
Și acum ne amintim că rezolvăm un sistem de ecuații, adică este necesar să alegeți dintre primul și al doilea set de rădăcini care aparțin fiecăruia dintre aceste seturi. Evident, există doar o astfel de rădăcină - $ x = 1 $.
Soluția totală a primei expresii este rădăcina unică $ x = 1 $.
După cum puteți vedea, această soluție sa dovedit a fi mult mai simplă decât abordarea standard. Aici este suficient să notăm că suma a două numere nonnegative este 0 numai dacă fiecare dintre aceste numere are valoarea 0.
Exemplul nr. 2
Trecem la cea de-a doua constructie:
La prima vedere, putem spune că această construcție este cea mai simplă ecuație. Și, strict vorbind, este bine rezolvată prin formula scrisă de mai sus, adică trecerea de la expresie la modulul funcției la setul de două sisteme. Cu toate acestea, suntem confuzi de funcția de putere - gradul este prea mare. Prin urmare, să notăm că funcția $ f \ left (x \ right) = ^> $ nu este pur și simplu, dar nu este negativă pe întreaga axă numerică. Și aceasta înseamnă că $ - ^> $ va fi întotdeauna fie negativă, fie egală cu 0. Totuși, pe de altă parte, modulul funcției este pe de altă parte - și este întotdeauna ne-negativ. Aceasta înseamnă că, în stânga, valoarea este mai mare sau egală cu zero și pe dreapta - mai mică sau egală. Și trebuie să știm când aceste valori sunt identice unul cu celălalt. Evident, ele pot fi astfel numai atunci când fiecare dintre ele este egal cu 0, deoarece în caz contrar ele vor sta pe laturile opuse ale separatorului 0, adică $ \ left | x-2 \ right | $ se va abate constant în dreapta și $ - ^> $ - în stânga. Prin urmare, expresia noastră poate fi rescrisă după cum urmează:
Să rezolvăm aceste construcții:
Rezolvăm fiecare dintre aceste expresii:
Se observă că rădăcina trebuie să fie în același timp atât 2 cât și 0. Aceasta este imposibil, deci soluția acestei expresii este un set gol. Nu vă confundați cu aceste răspunsuri atunci când rezolvați probleme cu module. Ca și în cazul oricăror alte funcții care impun restricții asupra scopului unei definiții sau valori într-o sarcină, în procesul de rezolvare a expresiilor complexe cu module de funcții se poate dovedi că aceste soluții pur și simplu nu există.
Puncte cheie
- Suma a două numere non-negative este zero când fiecare dintre aceste numere este zero. Ca urmare, o ecuație care este singură departe de trivial este împărțită într-un sistem de două ecuații separate, fiecare dintre ele rezolvând mult mai simplu.
- Faptul că unitatea în sine este o valoare non-negativă, poate fi utilizat într-un mod diferit, de exemplu, atunci când pe de o parte ar trebui să funcționeze modulul (această parte este non-negativ), iar pe de altă parte - o caracteristică care este mai mică decât zero sau egală cu zero. În acest caz, întreaga ecuație se reduce la un sistem de două ecuații, fiecare dintre ele fiind ușor rezolvată.
Ca un exemplu, al doilea prin expresie poate fi redus la egalitatea primului fel după cum urmează:
Vom vedea din nou suma a două funcții, fiecare dintre acestea nelegată. Amintiți-vă această tehnică, este foarte eficientă atunci când lucrați cu tot felul de funcții, care sunt cunoscute cu siguranță că au o valoare extra negativă.
- Pregătirea gratuită pentru USE 7 lecții simple, dar foarte utile + temele
Trimiteți-le prietenilor: