Evident, când. În același timp, de unde. Avem:
Continuitate și tipuri de discontinuități.
Dacă nici o limită nu există deloc, atunci spuneți că funcția are o discontinuitate la un punct. Există trei tipuri de discontinuități.
1) Pauză de unică folosință. când există, dar.
Un exemplu. Extindem funcția cu valoarea. Pentru că, atunci funcția va fi discontinuă într-un punct. Cu toate acestea, prin schimbarea valorii funcției la un singur punct, obținem ca rezultat o funcție continuă, adică eliminăm decalajul.
2) Gap de primul fel. Dacă există o limită în stânga și o limită în dreapta, dar atunci spunem că funcția are o discontinuitate de primul tip cu un punct.
Un exemplu. Luați în considerare o funcție și un punct. Avem
Dacă limita este diferită:
Astfel, punctul este un punct de discontinuitate a primului tip de funcție.
3) Toate celelalte lacune sunt considerate a fi lacune de tipul 2.
Dacă, atunci. Dacă, atunci.
Exemplul 2. Dacă da, atunci. Dacă, dar atunci. Astfel, nu există nici o limită (nici dreapta, nici stânga) pentru funcția de la punct.
Definiția. Un număr este numit derivatul unei funcții într-un punct dacă există o limită
(limita raportului dintre incrementarea funcției în punctul și incrementarea argumentului).
Derivatul este desemnat ca sau.
Pentru un grafic secundar (linia care unește punctele și), fracțiunea este egală cu panta liniei drepte
Aici sunt indicate coordonatele punctului curent secant. Astfel, arată cât de ușor (secund) secantul se schimbă când.
Definiția. Tangenta la graficul unei funcții la un punct este poziția limitativă a secantelor la.
Din definiția rezultă că ecuația tangentă este
Semnificația geometrică a derivatului este că este coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției în acest punct.
Sensul fizic al derivatului. Să existe un timp, în care punctul material se deplasează de-a lungul unei linii drepte și denotă distanța până la un anumit punct de referință. Apoi funcția este legea mișcării și determină schimbarea poziției punctului cu timpul.
Cu această interpretare există o distanță care trece prin punctul material în timp. În consecință, fracțiunea este viteza medie a mișcării în timp. Trecând la limită, ajungem că există o viteză instantanee de mișcare, descrisă prin lege. Acesta este sensul fizic al derivatului.
Cele mai simple proprietăți ale instrumentelor derivate.
Proprietățile limitelor definesc următoarele proprietăți ale derivatelor.
2) pentru o constantă arbitrară.
3) Dacă derivatul există într-un punct, atunci funcția este continuă în acest punct.
Derivații prin definiție.
Lungimea traseului traversat este egală, pe de o parte, și, pe de altă parte, (lungimea arcului). Prin urmare,
Funcția inversă a unei funcții nu poate fi exprimată prin funcțiile elementare. Prin urmare, o reprezentare explicită nu poate fi obținută și în clasa funcțiilor elementare.
Să fie o reprezentare parametrică a unei funcții.
Dovada. Fie funcția inversă unei funcții. Atunci, prin urmare
Prin teorema privind derivatul funcției inverse, avem unde. Prin urmare,
Derivatul unei funcții implicite.
Uneori, o funcție poate fi specificată implicit, prin intermediul unei ecuații în funcție de variabile și:
În acest caz, spuneți că funcția este specificată implicit.
Exemplul 1. Û .
Cu toate acestea, într-o formă explicită, funcția nu poate fi întotdeauna exprimată prin intermediul funcțiilor elementare.
Fie ca punctul să aparțină setului de soluții ale ecuației (adică) și să fie o funcție care să satisfacă condiția. Cum să găsiți derivatul? Cea mai simplă modalitate este de a diferenția identitatea și, asigurându-se că derivatul intră liniar în expresia rezultată, găsiți valoarea.
Continuarea exemplului 1.
În special, dacă
Verificați :, Când primiți.
Definiția. Un punct se numește un punct minim local al unei funcții, dacă pentru toate, dintr-un anumit interval
Dacă inegalitatea este înlocuită de o inegalitate, atunci punctul va fi denumit punctul maxim local al funcției.
Teorema lui Fermat. Lăsați funcția să fie definită pe un anumit interval și să se diferențieze la un punct. Apoi, dacă este un punct de minim sau maxim de funcție locală, atunci
Dovada. Fie ca, pentru claritate, să fie un punct minim local al funcției. În definirea derivatului unei funcții într-un punct, considerăm limita din dreapta:
În numerotator există o valoare pozitivă, deoarece prin ipoteză. În numitor, expresia este pozitivă, prin urmare, și. Luați în considerare limita din stânga.
În numărător, ca și mai înainte, există o valoare pozitivă, iar expresia în numitor este acum negativă, prin urmare, și. Dar apoi. QED
Teorema lui Weierstrass (fără dovadă). Funcția continuă definită pe un interval atinge atât valoarea minimă cât și cea maximă.
Teorema lui Rolle. Fie funcția să fie continuă pe un interval și să se diferențieze în fiecare punct al intervalului. Dacă, atunci, există un punct pe intervalul la care.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: