Teoria elasticității studiază tensiunile și deformările corpurilor elastice care apar sub acțiunea forțelor externe (încărcături) asupra lor.
Elasticitatea este abilitatea unui corp care și-a schimbat forma și dimensiunile sub încărcătură, pentru a-și asuma dimensiunile și forma originală după ce sa înlăturat sarcina. Dacă schimbarea dimensiunilor corpului depinde liniar de sarcină, atunci există elasticitate liniară. Corpul care posedă această proprietate este numit perfect elastic. Materialele care au o elasticitate perfectă sunt oțel, fontă, aluminiu, lemn, sticlă. Dacă schimbarea dimensiunii corpului nu depinde de sarcină neliniar, atunci vorbim de elasticitate neliniară. De exemplu, cauciucul are o elasticitate neliniară. Vom studia teoria liniară a elasticității.
Fig. 1 - Elasticitatea liniară (1) și neliniară (2)
Dacă la fiecare punct proprietățile corpului sunt identice în toate direcțiile, atunci un astfel de corp este numit izotrop. Cu precizie de inginerie, oțel izotropic poate fi luat în considerare. Dacă la fiecare punct proprietățile corpului sunt diferite în direcții diferite, atunci un astfel de corp este numit anisotrop. Astfel de proprietăți sunt posedate de un copac, care are proprietăți de-a lungul fibrelor, iar altele - de-a lungul fibrelor. Vom studia teoria liniară a elasticității corpurilor izotropice.
În plus, introducem următoarele restricții:
- Materialul corpurilor este omogen. adică proprietățile sale sunt identice în toate punctele corpului;
- Materialul corpurilor este continuu. adică, deformarea corpului are loc fără discontinuități;
- Se consideră numai corpuri, ale căror deformări și deplasări sub sarcină sunt mici în comparație cu dimensiunile corpului.
Astfel, din considerentele noastre, problemele de stabilitate a echilibrului elastic, calculul tijelor puternic curbate și încovoierea plăcilor și a cojilor în deflecții comparabile cu grosimea cochiliei cad. Aceste probleme sunt considerate teoria geometrică neliniară a elasticității.
Teoria liniară a elasticității studiază forțele interne care apar într-un corp perfect elastic sub influența forțelor externe.
Astfel, forțele sunt împărțite în forțe externe (forțe de interacțiune ale diferitelor corpuri) și forțe interne (care apar între două elemente adiacente din corp). Forțele externe pot fi aplicate la un punct (concentrat), de-a lungul suprafeței corpului (superficial) și în fiecare punct al corpului (volumetric).
Luați în considerare un corp care este în echilibru sub acțiunea forțelor externe F1, F2, ..., Fn (Figura 2a). Între părți ale corpului există forțe interne de interacțiune care pot distruge corpul. Pentru a determina aceste forțe în secțiunea transversală de interes pentru noi, împărțim mental corpul în două părți și, înlăturând partea dreaptă, înlocuiți acțiunea cu partea rămasă a forței rezultante P (figura 2b).
Lăsați axa OX să fie îndreptată perpendicular pe secțiunea noastră. Apoi, axele OY și OZ sunt situate în planul secțiunii. Proiecția forței rezultante P pe axa OX ne dă un Px normal. iar pe axele OY și OZ tangentele Py și Pz sunt componentele acestei forțe.
De fapt, forța P nu este aplicată într-un punct, ci este distribuită neuniform în întreaga secțiune. Intensitatea acestei forțe, adică forța care acționează asupra unei zone unitare, se numește stres. Tensiunea totală în acest punct este definită ca limita raportului:
Stresul normal la un punct este definit ca limita raportului
Tensiunile tangențiale la un punct sunt definite ca limitele raportului
Primul indice cu tensiuni tangențiale denotă direcția tensiunilor tangențiale, iar al doilea indice este axa normală față de fața pe care acționează tensiunile tangențiale. Să considerăm mental un paralelipiped elementar cu laturile dx, dy și dz la un punct arbitrar al secțiunii luate în considerare și să luăm în considerare forțele care acționează pe fețele acestui paralelipiped (fig.3).
Fig. 3 - Acționează pe fețele unui paralelipiped elementar
Apoi, la fiecare punct, actul de tensiuni, reprezentat de o matrice, numit tensor de stres.
Este clar că componentele tensorului de stres depind de alegerea sistemului de coordonate.
Prin componentele tensorului de tensiune se poate găsi așa-numita tensiune echivalentă, care nu depinde de alegerea sistemului de coordonate. Tensiunea echivalentă poate fi comparată cu rezistența caracteristică a materialului, reprezentată de tensiunea admisă.
Apoi condiția de rezistență este scrisă într-o formă cunoscută:
Problema teoriei elasticității constă în determinarea cea mai precisă a componentelor tensorului de tensiune și, prin urmare, a tensiunii echivalente.
Să desemnați schematic domeniile de aplicare ale diferitelor teorii pentru a descrie starea de solicitare-tensiune a pieselor pe diagrama stretch a unui specimen de oțel moale înainte de fractură.
Fig. 4 - Domenii de aplicare a diferitelor teorii: I - teoria elasticității, II - teoria plasticității, III - mecanica fracturilor
Dacă tensiunile din calcule sunt mai mari decât tensiunea de randament sT (în notația modernă Rp), atunci ele sunt numite elasticare condiționată. Există metode care permit utilizarea unor soluții elastice pentru a studia starea elastic-plastic și plastic a unei părți. Să luăm în considerare structura generală a teoriei elasticității.
Fig. 6 - Schema structurală a teoriei elasticității
Din anii '70, aparatul matematic modern este utilizat cel mai adesea în lucrări privind teoria elasticității. Un aparat matematic formal este desemnarea și formalizarea obiectelor și acțiunilor asupra lor. În teoria elasticității se folosește calculul tensorului. În cursul nostru vom folosi calculul tensorului doar ca o ilustrare a unei scurte înregistrări a expresiilor detaliate. Pentru posibilitatea unei înregistrări scurte a axelor de coordonate, indicele de stres sunt notate nu prin litere, ci prin numere.
Rangul tensorului este numărul de indici cu acesta. Așa cum se va arăta mai târziu, tensorul de stres este un tensor al celui de-al doilea rang. Prin definiție, tensorul celui de-al doilea rang este setul de valori Aij. care depind de doi indici și se transformă atunci când sistemul de coordonate este modificat prin formule
Rangul tensorului nu este legat de dimensiunea spațiului! Dimensiunea spațiului este determinată de numărul de valori pe care fiecare indice îl are. Dacă i. j. k. Eu iau valorile 1, 2, 3, apoi tensorul (*) este definit în spațiul tridimensional. Convoluția de expansiune pentru expresii: prin indici interni (repetate în monomiali) k. Suma este efectuată, iar indicii intermediari i, care se repetă în stânga și în dreapta. j determină numărul de ecuații. Exemplu de implementare a expresiei (*) pentru valorile i = 2, j = 3:
O altă reducere a înregistrării - derivatele parțiale sunt indicate de indice după virgulă. De exemplu:
Apoi notația denotă mai multe relații:
În cele ce urmează vom vedea că placa de stres dintr-un punct este un tensor al celui de-al doilea rang, adică satisface relațiile (*) atunci când sistemul de coordonate se schimbă.
Trimiteți-le prietenilor: