Dacă două seturi finite sunt echivalente, ele constau din același număr de elemente. Dacă două seturi infinite M și N sunt echivalente unul cu altul, se spune că M și N au aceeași putere.
Astfel, puterea este ceva comun pentru oricare două seturi care sunt echivalente unul cu celălalt. Pentru seturile finite conceptul de cardinalitate coincide cu noțiunea obișnuită a numărului de elemente dintr-un set.
Cardinalitatea setului de numere naturale și orice alt set numărare va fi notat cu 10. Aceasta este cea mai mică putere între seturile infinite.
Seturi care sunt echivalente cu mulțimea tuturor numerelor reale ale intervalului [0; 1] au puterea continuumului. Această putere este notată cu simbolul C (sau l). Seturile cu cardinalitatea continuumului au o ordine de infinitate mai mare decât mulțimile numărabile.
Pentru puterile seturilor finite există concepte de "egalitate", dar și "mai mult" și "mai puțin". Aceste concepte sunt valabile și pentru seturile infinite.
Fie A și B două seturi arbitrare, iar M (A) și M (B) puterile lor. Apoi sunt posibile următoarele cazuri:
1. A este echivalent cu un anumit subset al lui B. și B este echivalent cu o parte a lui A.
2. A conține o parte echivalentă cu B. dar în B nu există o parte echivalentă cu A.
3. B conține o parte echivalentă cu A. dar în A nu există o parte echivalentă cu B.
· În primul caz, seturile A și B de către teorema Cantor-Bernstein sunt echivalente una cu cealaltă, adică M (A) = M (B).
În cel de-al doilea caz, este normal să presupunem că M (A)> M (B).
Deci, Orice două seturi sunt fie echivalente (equipotent) unul cu celălalt, și apoi M (A) = M (B), sau satisfac una dintre cele două relații. M (A)> M (B) sau M (A) Am observat că seturile numătoare sunt "cele mai mici" de seturi infinite, iar capacitatea lor este de asemenea cea mai mică. De asemenea, am aflat că există seturi infinite cu o putere mai mare decât l, aceasta este cardinalitatea continuumului C (l). Există seturi care au o putere mai mare decât puterea continuumului? Și există vreo putere "cea mai înaltă" sau nu? Următoarea teoremă oferă un răspuns pozitiv la aceste întrebări: Fie M un set și M * setul tuturor subseturilor sale. Apoi setul M * are o cardinalitate mai mare decât cardinalitatea setului original M: M (M *)> M (M). Deci, pentru orice putere, putem construi o mulțime de putere, mai mult, etc., obținând astfel o scală nelimitată de putere de sus în jos. Cardinalitatea mulțimii M * este notată cu simbolul 2M. unde M este cardinalitatea lui M. Semnificația acestei notații poate fi înțeleasă prin luarea în considerare a cazului unui M. Atunci teorema poate fi exprimată prin inegalitatea 2M> M. În special, pentru M = 10, obținem inegalitatea 20> 10. Se pune întrebarea, care este puterea de 20%. Se pare că 2l0 = C. Asta este, cardinalitatea setului de subseturi dintr-o serie naturală este egală cu cardinalitatea continuumului.
Trimiteți-le prietenilor: