Subgrupuri normale

Aceasta se numește automorfismul intern al lui G generat de elementul g.

94. Descoperiți că auto-morfismul intern al unui grup este un izomorfism al grupului în sine.







95. Care este reflexia triunghiului față de înălțimea sa, cu toate automomorfismele interioare posibile ale grupului de simetrie al triunghiului?

96. În ce direcție rotația triunghiului merge cu 120 ◦ sub toate automomorfismele interioare posibile ale grupului de simetrie al triunghiului?

97. Care 2 elemente ale grupului de simetrie ale unui tetraedru pot fi transpuse între ele printr-un automorfism intern,

Și care nu sunt permise? Aceeași întrebare pentru grupul de rotație cu tetraedru.

98. Dovada că ordinele elementelor ab și ba în orice grup sunt egale.

Rețineți că cel puțin grupul interior automorphism (ca în orice izomorfism), fiecare subgrup de comutatoare în subgrupul, în general vorbind, o alta (de exemplu, reflecții în aceeași înălțime a triunghiului devin reflexiei în raport cu o altă înălțime). Cu toate acestea, anumite subgrupe "deosebit de simetrice" rămân în vigoare pentru toate automorfismele interne (de exemplu, subgrupul de rotații al unui triunghi în grupul de simetrie al unui triunghi). Acum considerăm astfel de subgrupuri.

Definiție: Un subgrup al unui grup se numește un subgrup normal dacă intră în sine pentru toate automorfismele interioare ale grupului. Cu alte cuvinte, un subgrup N dintr-un grup G este numit un subgrup normal al G dacă pentru fiecare element a lui N și orice element g al G elementul gag-1 este conținut în N.

Astfel, subgrupul de rotații este normal în grupul de simetrie a triunghiului, iar subgrupul de reflecții înălțime relativ redus de la un vârf de la A la BC lateral (format din două elemente) Subgrupul normale de simetrie al triunghiului nu este.

99. Dovada că fiecare subgrup dintr-un grup comutativ este un subgrup normal.

100. Este subgrupul simetricilor centrale alcătuit din elemente (exemplele 3, 4, p. 17-18) un subgrup normal al grupului de simetrie al unui pătrat?

THEOREM 2. Un subgrup N dintr-un grup G este un subgrup normal dacă și numai dacă stânga

iar descompunerea corectă (vezi §8) a grupului G în ceea ce privește subgrupul N coincide *.

101. Dovediți teorema formulată.

102. Fie n ordinea grupului G, m ordinea subgrupului H și m = n / 2. Dovada că H este un subgrup normal al G.

103. Dovada că intersecția (vezi nota de subsol la p. 28) a oricărui număr de subgrupuri normale ale unui grup G este un subgrup normal al lui G.

104. Setul de elemente ale G care circulă cu toate elementele grupului este numit centrul lui G. Dovediți că centrul este un subgrup și, în plus, este subgrupul normal al lui G.

105. Lăsați N1 și N2 să fie subgrupe normale în grupurile G 1 și respectiv G 2. Dovada că N 1 × N 2 este un subgrup normal de G 1 × G 2.

Exemplul următor arată că subgrupul normal al unui subgrup normal de G nu poate fi un subgrup normal al grupului G.

Exemplul 11. Luați în considerare subgrupul grupului de simetrie al unui pătrat constând în reflexii în raport cu diagonalele și centrul (a se vedea exemplele 3, 4, p. 17-18, subgrupa). Acest subgrup conține jumătate din elementele grupului de simetrie al pătratului și este prin urmare

subgrupul normal din acesta (vezi 102). Un subgrup constând din reflecții cu privire la una dintre diagonale conține jumătate din elementele subgrupului și, prin urmare, este un subgrup normal în el. Pe de altă parte, subgrupul nu este un subgrup normal al întregului grup de simetrie al unui pătrat, deoarece sub automorfisme interne d este transformat în reflecție







*) În acest caz, descompunerea rezultată va fi numită pur și simplu o extindere în subgrupul normal.

față de altă diagonală: bdb -1 = f.

§ 11. Grupuri de factori

Să începem cu un exemplu. Considerăm descompunerea grupului de simetrie al unui pătrat în subgrupul normal format din simetrii centrale e și a (a se vedea exemplele 3, 4, p. 17-18). Este ușor de observat că descompunerea grupului nostru în 4 clase învecinate are forma indicată în Tabelul. 2.

Tabelul 2 Denumiți fiecare clasă adiacentă printr-o literă, de exemplu, E, A, B, C.

rezultatul este în aceeași clasă C, indiferent de elementele din clasele A și B. Din rezolvarea următoarei probleme rezultă că acest lucru nu este un accident.

106. Fie G o descompunere a subgrupului normal N și lăsăm elementele x 1 și x 2 să stea într-o clasă adiacentă, iar elementele y 1 și y 2 se află, de asemenea, într-o clasă adiacentă. Dovada că elementele x 1 y 1 și x 2 y 2 se află într-o clasă adiacentă.

Astfel, luând un reprezentant din două clase adiacente și înmulțind-le într-o anumită ordine, vom intra într-o clasă învecinată care nu va depinde de exact ce reprezentanți am ales. În consecință, atunci când un grup este descompus într-un subgrup normal N pe un set de cosets, putem defini o operație binară după cum urmează: dacă A = xN, B = yN, atunci setăm A · B = (xy) N. Rezultatul problemei 105 arată că această operație este determinată în mod unic și nu depinde de alegerea elementelor x și y care generează clase adiacente A

și B. Deci, în exemplul de mai sus, A · B = C.

În problemele 107-109 vorbim de descompuneri pe un subgrup normal.

107. Fie T 1. T 2. T3 să fie clase adiacente. Dovedește asta

(T1T2) T3 = T1 (T2T3).

108. Fie subgrupul normal să fie notat cu E. Dovediți că ET = T E = T pentru orice coset.

109. Dovedeste ca pentru orice coset T exista o clasa T -1 astfel incat T T -1 = T -1 T = E.

Din afirmațiile problemelor 107-109 rezultă că setul de cosets cu operația binară descrisă mai sus formează un grup. Acest grup este numit grupul de factori din G în raport cu subgrupul normal N și este notat cu G / N.

Este evident că G / G și G / G <>. în mod evident, așa-

aceeași ca ordinea coeficientului este un număr natural de n / m, unde n - ordinul grupului G, și m - ordinul subgrupului normale N. De exemplu, raportul dintre simetria pătrată a subgrupului de element central 4 cuprinde simetrii.

110. Aflați dacă grupul de factori al grupului de simetrii al pătratului cu privire la subgrupul de simetrii centrale este izomorf la grupul de rotații ale pătratului sau la grupul de simetrii ale rombului.

111. Găsiți toate subgrupele și grupurile de factori normali * în legătură cu acestea în următoarele grupuri: a) grupul de simetrie

triunghi, b) Z 2 × Z 2. c) grupul de simetrie al pătratului, d) grupul cuaternion (pagina 125).

112. Descrieți toate subgrupele normale și grupurile de coeficienți în ceea ce le privește pentru grupuri: a) Z n. b) Z.

113. Găsiți toate subgrupele normale și grupurile de factori în raport cu ele în grupul de rotații ale tetraedrului.

114. În produsul direct al grupelor G 1 × G 2 luăm în considerare subgrupa G 1 ×. Dovediți că acesta este un subgrup normal și că grupul de coeficienți este izomorf pentru el de G2.

§ 12. Comutator

Reamintim că sunt apelate două elemente a și b ale lui G

permutational (sau naveta) daca ab = ba. Gradul de necomutativitate a celor două elemente ale grupului poate fi măsurat cu produsul aba -1 b -1. care este egal cu unul dacă și numai dacă a și b comute (dovedi).

Definiție: elementul aba -1 b -1 se numește comutatorul a și b. Comutatorul K (G) al grupului G

este setul tuturor produselor posibile ale unui număr finit de comutatoare din grupa G.

*) În cele ce urmează, pentru a găsi grupul de coeficienți înseamnă a indica orice grup considerat anterior, la care grupul de factor necesar este izomorf.

115. Să demonstreze că subgrupul comutator este un subgrup.

116. Dovada că comutantul este un subgrup normal al grupului.

117. Dovada că comutantul coincide cu subgrupul de identitate dacă și numai dacă grupul este comutativ.

118. Găsiți comutantul în grupuri: a) simetriile triunghiului, b) simetria pătratului, c) grupul cuaternion (pagina 125).

119. Dovada că comutantul în grupul de simetrie al unui regulat n-gon este izomorf la grupul Z n pentru n ciudat

și grupul Z n / 2 pentru n egal.

120. Găsiți comutantul în grupul de rotație al tetraedrului.

121. Pentru a demonstra că, în cazul subgrupul normal al grupului rotații sau simetrii tetraedru conține cel puțin o rotație în jurul unei axe care trece prin varful, acesta conține toate rotatiile grupului tetraedru.

122. Găsiți comutantul în grupul de simetrie al tetraedrului. Considerăm încă două grupuri: grupul de rotații ale cubului și grupul de

rotația octaedrului corect (figura 7).

123. Câte elemente în fiecare dintre aceste grupuri? Listează elementele grupului de rotație a cubului.

124. Dovada că grupurile de rotație ale unui cub și ale unui octaedru sunt izomorfe.

125. Câte moduri diferite pot să pictez chipurile unui cub cu 6 culori (fiecare față cu culoarea sa), dacă sunt considerate culori diferite care nu pot fi combinate între ele prin rotirea cubului? Aceeași întrebare pentru o cutie de potrivire.

126. Care din grupurile cunoscute este un grup izomorf







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: