Funcții $ y_1 (x), \; y_2 (x), \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ sunt numite liniar dependente de un set $ T $, dacă există constantele $ \ alpha_1, \; \ alpha_2, \; \ alpha_3, \ ldots, \ alpha_n $, că $ \ forall x \ în T $ are loc egalitatea:
$$ (1) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ ldots + \ alpha_n \ cdot y_n = 0 $$
Notă cu privire la terminologie: show / hide
Condiția (2) poate fi de asemenea menționată în această formulare: printre coeficienții $ \ alpha_i $ există cel puțin un nenul.
Este ușor de verificat echivalența formulărilor. Egalitatea $ \ alpha _ ^ + \ alfa _ ^ + \ ldots + \ alpha _ ^ = 0 $ este posibilă dacă și numai dacă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $. Dacă $ \ sum _ ^ \ alfa _ ^ \ neq 0 $, egalitatea $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $ nu este îndeplinită, și anume, cel puțin unul dintre coeficienții $ \ alpha_i $ este nenul.
Dacă, totuși, egalitatea (1) este posibilă numai cu condiția:
atunci funcțiile $ y_1 (x), \; y_2 (x), \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ sunt numite liniar independente pe setul $ T $. De fapt, condiția (3) este echivalentă cu aceasta: toți coeficienții $ \ alpha_i $ sunt egali cu zero.
Pentru două funcții se poate deduce cu ușurință o regulă simplă: dacă $ \ forall x \ în T $ $ \ frac \ neq const $ pe un interval $ T = (a, b) $, atunci funcțiile $ y_1 (x) $ si $ y_2 (x ) $ sunt independente liniar pe $ T $. Dacă $ \ forall x \ în T $ $ \ frac = const $ pe $ T $, atunci funcțiile $ y_1 (x) $ și $ y_2 (x) $ sunt liniar dependente de $ T $.
Argument pentru această regulă: arată / ascunde
Presupunem că $ \ frac \ neq const $ este $ T $, dar funcțiile $ y_1 (x) $ și $ y_2 (x) $ sunt dependente liniar. În cazul în care funcțiile sunt liniar dependente, atunci există constante $ \ alpha_1 $ și alpha_2 $ \ $, nu zero, în același timp, că egalitatea: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $. Fie, de exemplu, $ \ alpha_1 \ neq 0 $. Apoi, ținând cont de $ y_2 (x) \ neq 0 $ la $ T $, obținem: $ \ frac = - \ frac = const $, ceea ce contrazice presupunerea $ \ frac \ neq const $.
Dacă $ \ frac = const $, atunci $ y_1 (x) -C \ cdot y_2 (x) = 0 $ pe $ T $; $ \ alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = -C $. În acest caz, $ \ alpha _ ^ + \ alpha _ ^ = 1 + C ^ 2 \ neq 0 $, adică funcțiile $ y_1 (x) $ și $ y_2 (x) $ sunt dependente liniar de $ T $.
Toate exemplele menționate în acest subiect se vor baza pe definițiile și proprietățile date mai sus. În mod normal, în cazul general, utilizarea unor astfel de definiții este oarecum dificilă. Există mai multe criterii care permit simplificarea procesului de verificare a funcțiilor pentru dependența liniară. Două astfel de metode sunt luate în considerare pe site: folosind determinantul Vronsky și determinantul Gram.
Aflați dacă funcțiile $ y_1 (x) = x ^ 2 + 2x-4; \; (x) = -4x ^ 2 + 7x-1; y3 (x) = -5x ^ 2 + 20x-14 $ sunt dependente liniar sau liniar independente de setul $ R $.
Luați în considerare o combinație liniară a acestor funcții este: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 $. Dacă $ \ forall x \ in R $ egalitate $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ se efectuează numai dacă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $ atunci funcțiile sunt liniar independente . Dacă $ \ forall x \ in R $ egalitate $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ posibil cu condiția ca cel puțin unul dintre coeficienții $ \ alpha_i $ nu este egal cu zero, atunci funcția sunt dependente liniar.
Înlocuim în expresia $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ funcțiile date:
Extindeți parantezele și regrupați termenii:
$$ \ alpha_1 \ cdot x ^ 2 + 2 \ alpha_1 \ cdot x-4 \ alpha_1-4 \ alpha_2 \ cdot x ^ 2 + 7 \ alpha_2 \ cdot x- \ alpha_2-5 \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + 20 \ alpha_3 \ cdot x-14 \ alpha_3 = 0; $$ $$ (\ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3) \ cdot x ^ 2 + (2 \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3) \ cdot x + (- 4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 ) = 0. $$
Ultima egalitate este posibilă numai în cazul în care coeficienții puterilor variabilei $ x $ sunt simultan egali cu zero, adică
$$ \ left \ \ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3 = 0; \\ 2 \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3 = 0; \\ -4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 = 0. \ end \ right
Am obținut un sistem omogen de ecuații liniare. Nu este nevoie să rezolvăm acest lucru, ci trebuie să stabilim numărul de soluții. Dacă soluția este numai una - zero (sau, în altă terminologie, trivială), adică $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, atunci funcțiile sunt independente liniar. Dacă există alte soluții decât zero, atunci funcțiile sunt dependente liniar. Gasim rangul matricei sistemului $ A = \ left (\ begin 1 -4 -5 \\ 2 7 20 \\ -4 -1 -14 \ end \ right) $ și rangul matricei extinse a sistemului: $ \ tilde = \ left (\ begin 1 -4 -5 0 \\ 2 7 20 0 \\ -4 -1 -14 0 \ end \ right) $, apoi aplicați teorema Kronecker-Capelli.
Deci, $ a sunat \ tilde = rang A = 2 <3$, т.е. система имеет бесконечное количество решений. Следовательно, функции $y_1;\;y_2;\;y_3$ линейно зависимы. При желании можно отыскать один из этого бесконечного множества наборов $\alpha_1; \; \alpha_2\; \alpha_3$, в котором хотя бы один элемент не равен нулю. Продолжим решение системы уравнений, вычеркнув нулевую строку и перенеся третий столбец (он соответствует переменной $\alpha_3$) за черту:
Prin urmare, obținem soluția: $ \ left \<\begin&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end \right.$ Например, подставив $\alpha_3=-1$, получим: $\alpha_1=3;\; \alpha_2=2$. Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ при найденных коэффициентах будет выполнено $\forall x\in R$:
$$ 3 \ cdot y_1 + 2 \ cdot y_2-y_3 = 3 \ cdot (x ^ 2 + 2x-4) 2 \ cdot (-4x ^ 2 +-7x 1) - (- 5x ^ 2 + 20x-14 ) = 0. $$
Astfel, există constante $ \ alpha_1; \; \ alpha_2; \; \ alpha_3 $ (de exemplu, $ \ alpha_1 = 3; \; \ alpha_2 = 2; \; \ alpha_3 = -1 $), nu toate simultan zero, că $ R $ satisface $ identitate \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 \ equiv 0 $. În consecință, funcțiile luate în considerare sunt dependente liniar.
Pentru a investiga liniar următoarele funcții: $ y_1 (x) = x \ ln (x + 4); \; y_2 (x) = \ ln ^ 2 (x + 4) $.
Executăm ancheta în intervalul $ T = (-4; + \ infty) $, care este domeniul de definire a funcțiilor date. Aplicăm regula pentru determinarea dependenței liniare a celor două funcții indicate la începutul paginii. Deoarece $ \ frac = \ frac \ neq const $ $ pentru $ x \ in (-4; + \ infty) $, aceste funcții sunt independente liniar pe $ T = (-4; + \ infty) $.
Investigați dependența liniară a funcției: $ y_1 (x) = 1; \; y_2 (x) = x; \; y_3 (x) = x ^ 2; \; y4 (x) = x ^ 3; \; y_5 (x) = x ^ 4 $.
Domeniul de definire a acestor funcții este întreaga linie numerică, adică $ x \ în R $. Luați în considerare ecuația:
$$ (4) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = $ cu 0 $
Dacă este posibil, ecuația (4), pentru toate $ x \ in R $ doar dacă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, funcția predeterminată sunt liniar independente. Dacă ecuația (4) $ \ forall x \ in R $ este realizată pe un set de constante $ \ alpha_1 $, $ \ alpha_2 $, $ \ alpha_3 $, $ \ alpha_4 $, $ \ alpha_5 $, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, atunci funcțiile date sunt dependente liniar. Astfel, trebuie să investigăm egalitatea (4).
În partea stângă a (4) există un polinom, ordinul (sau, în altă terminologie, gradul) nu depășește $ 4 $. De exemplu, dacă $ \ alpha_1 = 2; \; \ Alpha_2 = 0; \; \ alpha_3 = 0; \; \ alpha_4 = 7; \; \ alpha_5 = 0 $, vom obține un polinom de al treilea ordin: $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = 7x ^ 3 + 2 $. Ie pe partea stângă a (4) poate exista un polinom al ordinelor a patra, a treia, a doua, a primului și a ordinului zero.
Să considerăm cazul în care partea stângă a ecuației (4) este un polinom a cărui ordine nu este zero (printre constantele $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ cel puțin un non-zero). Orice polinom de ordinul întâi poate ajunge la zero la un singur punct (adică există o singură valoare a lui $ x $ pentru care polinomul primei comenzi este zero). Polinomul ordinii a doua este zero la cel mult două puncte; un polinom de ordinul trei - nu mai mult de trei puncte; Polinomul de ordinul 4 dispare la cel mult patru puncte. Ie dacă printre constantele $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ are cel puțin un diferit de zero, atunci ecuația (4), se poate face mai mult decât în cele patru valori ale $ x $ ( dar nu pentru toate $ x \ în R $).
Luați în considerare o situație în care unele dintre constantele $ \ alpha_2; \; \ alpha_3, \, \ alpha_4, \, \ alpha_5 $ nimeni altul decât zero, adică, $ \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. În acest caz, partea stângă a ecuației (4) conduce la un polinom de ordinul zero $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = \ alpha_1 $. Și egalitatea în sine (4) devine: $ \ alpha_1 = 0 $. În consecință, polinomul de ordinul zero pentru egalitatea (4) este posibilă numai dacă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $.
Pentru a rezuma: dacă polinomul non-zero este în partea dreaptă a (4), atunci (4) nu poate fi îndeplinit pentru toate $ x \ în R $. Ecuația (4) pot fi îndeplinite pentru toți $ x \ in R $ doar atunci când există un polinom de ordinul zero pe partea dreaptă, cu toate acestea, acest lucru înseamnă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. Deoarece ecuația (4) este satisfăcută pentru toate $ x \ in R $ furnizate doar $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, atunci funcțiile specificate sunt liniar independente în $ R $.
Pentru a investiga dependența liniară a funcției: $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = arcsin x; \; y_3 (x) = \ arccos x $ pe intervalul $ [- 1; 1] $.
Din moment ce $ \ arcsin x + \ arccos x = \ frac \; \ forall x \ în [-1; 1] $ atunci:
$ arcsin x \ arccos x = \ frac \ cdot4; \; \ arcsin x + \ arccos x- \ frac \ cdot4 = 0; \; 1 \ cdot y_1 + 1 \ cdot y_2 + \ stânga (- \ frac \ dreapta) \ cdot y_3 = 0 $$
Deci, există un astfel de set de constante $ \ alpha_1; \; \ alpha_2; \; \ Alpha_3 $ (de exemplu, $ \ alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = 1; \; \ alpha_3 = - \ $ Frac), între care există cel puțin o constantă, diferită de zero, că egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = $ 0 va fi îndeplinite pentru toți $ x \ in [-1; 1] $. Aceasta înseamnă că funcțiile $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = \ arcsin x; \; y_3 (x) = \ arccos x $ sunt liniar dependente de intervalul $ [- 1; 1] $.
Investigați dependența liniară a funcției: $ y_1 (x) = x; \; y_2 (x) = | x | $ în domeniul lor de definiție.
Domeniul de definire a funcțiilor date este întregul set de numere reale, adică $ x \ în R $. Funcția va fi dependentă liniar dacă există un set de constante $ \ alpha_1 $ și $ \ $ alpha_2, că pentru toate valorile $ x \ in R $, egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = $ 0 (adică, . $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $), și cel puțin un coeficient ($ \ alpha_1 $ sau $ \ alpha_2 $) nu este zero. În cazul în care egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $ pentru $ \ forall x \ în R $ este posibilă doar dacă $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, funcțiile date sunt liniar independente. Luați în considerare egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ mai mult.
Dacă x≥ $ 0 $, atunci $ | x | = x $, astfel încât egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ va deveni: $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot x = 0 $, $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $. Egalitatea $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = $ 0 trebuie îndeplinite pentru toate $ 0 $ x≥, deci $ \ alpha_1 + \ alpha_2 = 0 $.
Dacă $ x <0$, то $|x|=-x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x-\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех значениях $x <0$, поэтому $\alpha_1-\alpha_2=0$.
Așa că egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ este valabil pentru toate $ x \ in R $, necesită două condiții:
Sistemul are ca rezultat numai triviale soluție (zero): $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $. Astfel, egalitatea $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ pentru $ \ forall x \ în R $ este posibilă numai în cazul $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, astfel încât funcțiile sunt independente liniar pe R.
Studiul dependenței liniare cu ajutorul determinanților Vronsky și Gram este indicat în alte subiecte ale site-ului.
Trimiteți-le prietenilor: