În studiul formelor propoziționale (predicate), a fost indicată una dintre căile de obținere a exprimărilor: substituirea unei anumite valori a unei variabile în P (x) dintr-un anumit set A. De exemplu,
P (x): "x este un număr prime". Înlocuind x = 7, obținem instrucțiunea
"7 este un număr prime". Vom cunoaște mai multe două operații logice: atașând un cuantificator de comunitate și un cuantificator al existenței, care ne permite să derivăm din forme de exprimare de exprimare.
Înlocuiți cuvântul "orice" înainte de formularul de expresie P (x): "orice x este un număr prime". Au primit o declarație falsă. Înlocuim cuvântul "unele" pentru P (x): "unele numere x sunt simple". Au primit o declarație adevărată.
În matematică, cuvântul „toate“, „unele“ și sinonimele lor sunt numite cuantificatori, care sunt numite, respectiv, cuantificatorul universal ( „) și generalitatea cuantificator cuantificatorul existențial ($) se înlocuiește în textul cuvintelor. Orice, toate, fiecare, fiecare, etc. Cuantificatorul existenței în formularea verbală este înlocuit cu cuvintele: există, cel puțin unul, unele acolo, etc.
Fie F (x) o formă propozițională pe M. Înregistrare
înseamnă că pentru orice element x (în mulțimea M) P (x), care este deja o declarație. Pentru a dovedi că declarația ( „x) P (x) - este adevărat, este necesar să se treacă prin toate elementele a, b, c, etc M și să verifice dacă P (a) P (b), P (c) . sunt adevărate, iar dacă este imposibil de a enumera elementele M, trebuie să dovedească prin argumente că pentru oricare dintre declarația M P (a) este adevărată. pentru a se asigura că ( „x) P (x) este falsă, avem nevoie doar de a găsi un singur element șiÎM, pentru care P (a) este falsă.
EXEMPLU. Forma expresivă este dată
B (x): "este un număr prime".
În (1): 2 2 + 1 = 5 este un număr prime;
În (2): = 17 este un număr prime;
În (3): = 257 este un număr prime;
În (4): = 65537 este un număr prime.
Leonard Euler a dovedit că B (5) este fals, adică + 1 = 2 32 + 1 este divizibil prin 641 și, prin urmare, (" x) B (x) este falsă.
EXEMPLU. Considerăm că propoziția (x) C (x), unde C (x) este dată pe N: x 3 + 5x este divizibilă cu 6 ".
Evident, C (1), C (2), C (3), C (4) sunt adevărate. Dar dacă verificăm chiar și un milion de valori ale lui x există întotdeauna un pericol ca, pentru un milion din prima valoare a x, afirmația lui C (x) se dovedește a fi falsă.
Puteți dovedi, de exemplu, astfel:
(x + 1) + 6x = (x - 1) x (x + 1) + 6x =
Expresia (x - 1) x (x + 1) este divizibilă cu 3, deoarece cel puțin unul din cele trei numere naturale consecutive este divizibil cu 3; această expresie este împărțită în 2, datorită a trei numere consecutive, una sau două numere sunt egale. Al doilea termen 6x este divizibil cu 6, deci întreaga sumă este divizibilă cu 6, adică (x) C (x) este adevărat.
Fie C (x) o anumită formă expresivă. record
înseamnă: există un element x din setul M pentru care are loc C (x). ($ x) C (x) este deja o declarație. Dacă în setul M putem găsi un element a pentru care C (a) este adevărat, atunci propoziția ($ x) C (x) este adevărată. Dacă în M nu există un element a pentru care C (a) este adevărat, instrucțiunea ($ x) C (x) este falsă.
EXEMPLU. Setul N este dat de C (x): "". C (1) este fals, C (2) este fals, C (5) este adevărat. În consecință, (gx) C (x) este o propunere adevărată.
EXEMPLU. Setul N este dat de K (x): "x 2 + 2x + 3 este divizibil cu 7". K (1) = 6, 6 nu este divizibil cu 7; K (2) = 11, 11 nu este divizibil cu 7, și așa mai departe.
Ipoteza: ($ x) K (x) este falsă.
Să dovedim asta. Orice număr natural al teoremei de fisiune cu restul poate fi reprezentat ca n = 7q + r, unde r <7.
n + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2 (7q + r) + 3 = 7 (7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.
Astfel, numărul n 2 + 2n + 3 este divizibil cu 7 dacă și numai dacă r 2 + 2r + 3 este divizibil cu 7. Restul r Î <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6>. Folosind metoda de căutare, vedem că r 2 + 2r + 3 nu este divizibil cu 7. Astfel, ($ x) K (x) este falsă.
Cum de a construi o negare a unei exprimări cu un cuantificator?
În scopul de a construi un declarații de refuz cuantificați, este necesar să se înlocuiască cuantificatorul universal ( „) la cuantificatorul existențial ($) și, invers, cuantificatorul existențial în cuantificator universal, iar propunerea. Cuantificatorul după ce în picioare pe negația ei, și anume,
[("x) P (x) Û ($ x) P (x);
[($ x) P (x) Û (x) P (x).
De exemplu, puteți lăsa două declarații:
A: "fiecare număr prime este ciudat";
Î: "fiecare număr prime este egal."
Va refuza B să spună A? Nu, pentru că niciuna dintre afirmații nu este adevărată. În acest caz
R: "Nu fiecare număr prime este ciudat, adică există un număr de prim rang "- o afirmație adevărată.
În cele ce urmează, presupunem că negarea sentinței este construită, dacă nu este scris doar negarea sa, dar și propoziția care rezultă este transformată într-o formă în care semnele de negație se confruntă cu expresii mai simple. De exemplu, prin negarea unei fraze a formularului A Ù B nu vom considera (A Ù B) și este echivalent cu A Ú V.
Fie A (x, y) o formă propozițională cu două variabile.
Apoi, ( 'x) A (x, y), ($ x) A (x, y), (' x) A (x, y), ($ x) A (x, y) este de asemenea formă propozițională dar cu o variabilă. În acest caz, se spune că cuantificatorul se leagă de o variabilă. Pentru a obține o exprimare din forma de expresie A (x, y), este necesar să se raporteze ambele variabile. De exemplu, (x) (yy) A (x, y) este o instrucțiune.
Pentru forma expresivă P (x, y): "x 1) (x) (y) P (x, y) Û Pentru fiecare x și pentru fiecare y 2) (y) (x) (x 3) ($ x) ($ y) (x 4) ($ y) ($ x) (x 5) ("x) ($ y) (x 6) ($ y) ("x) (x 7) (y) (sx) (x 8) ($ x) ("y) (x Observați afirmațiile (1) și (2), (3) și (4). Structurile acestor afirmații diferă doar în ordinea acelorași cuantificatori, dar valorile de semnificație și adevăr ale declarațiilor nu se schimbă. Declarațiile (5) și (6), (7) și (8) diferă în ordinea unor cuantificatori diferiți, ceea ce duce la o schimbare a sensului și, eventual, a adevărului exprimării. Declarația (7) afirmă că există cel mai mic număr în Z, ceea ce este fals. (8) afirmă că nu există astfel de măsuri. este adevărat. 1. Conceptul de predicat de la una, mai multe variabile. 2. Exemple de predicate unice și duble. 3. Domeniul adevărului predicatului. 4. Cuantificatorii comunității și existența. Variabile libere și obligatorii. Operații asupra predicatelor. Care este domeniul adevărului; ; ; . Oferiți interpretări geometrice. 5. Transformarea formulelor logice predicate. Definiția predicatului identic identic și identic, legătura cu domeniul adevărului. Echivalența de bază. 5.1. Specificați mai multe valori ale variabilelor pentru care următoarele predicate sunt adevărate, false: 1. x 2. x Î N; 9. = - x, x Î R; 2. x <1. x Î N ; 10.> 0 3. x> 6 x x 3. xÎZ; 11. păcat x = -. xÎ R; 4. x + 3x + 6 = 0. x Î R; 12. cos x =. x ÎR; 5. = 0, xÎR; 13. x ³ y. x, y Î R; 6. | x - 5 | <2, 14. x + y <3, x,yÎ N; 7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x Î R; 15. x (y-1) = 0, x, yÎR; 8. = x, x Î R; 16. x + y = 4, x, y ÎR. 5.2. Găsiți zona de adevăr a predicatelor din Exercițiul 5.1. Cazurile 13 - 16 ilustrează în planul de coordonate. 5.3. Găsiți zona de adevăr a predicatelor: 1. = 0; 7. | 3x - 2 |> 8; 2. =; 8. | 5x - 3 | <7; 3. ->; 9. 2 - | x | = 1,7; 4; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1; 5. <0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x; 6.> 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4. 5.4. Găsiți zona de adevăr a predicatelor: 1. ( 2. (- 4 <- 1) Ù ( x + 2 ( 2x- 1) <3( x +1); 3. (- + 2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x<); 4. (- + x <2x - 4 )Ù( + 3 (x - 1)<); 5. ((x + 3) (x-1) <0 ) Ù ( x + 4x + 6> x (x-5); 6. ((x - 6x + 9) (2x - 10) <0) Ù ( 6 + x ( 7 - x ) 7. (1 + £) Ú (- 1 <5x - 5) 8. (-> 2) Ú (- 3x - 1> 2); 9. (+ 6x> + 4) Ú (-> -); 10. (0,2 (2x - 3) 5.5. Găsiți zona de adevăr a predicatelor: 1. păcat x =; 2. cos x = -; 3. tg x = 1; 4. ctg x = -1; 5. 4 - cos x = 4 sin x 6. 5 - 2 cos x = 5 sin 5.6. Identificați adevărul identic și falsitatea identică a predicatelor: 1. x + x = 2. x Î N; 2. x + 1 = 0. x Î R; 3. 1 + cos x = 2 cos; xÎR; 4. 1-cos x = 2 sin. x Î R; 5. (x + x) 2. xÎZ; 6. (x2) Ù(x = 2y + 1), x, y ÎZ 7. (x2) Ú(x = 2y + 1), x, yÎZ; 8. (x2) ® (x = 2y + 1), x, y ÎZ; 9. (x 9) ® (x 3), x, y ÎZ. 5.7. Găsiți semnificația următoarelor afirmații: 1. ("x Î N) (x £ 1); 2. ($ x Î N) x £ 1 3. ("x Î Z) (x + x = 2); 4. ($ xÎ Z) (x + x = 2); 5. ("x Î Z) ((x> 10) (x3)); 6. ("x Î Z) ((x3)) (x> 10); 7. ("x, y Î Z) (x + y = 3); 8. ($ x, y Î Z) (x + y = 3); 9. ("x, y Î R) (x 10. ("x, y Î R) (x
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: