Câmpuri vectoriale potențiale

Fie un câmp vectorial continuu definit într-o anumită regiune a spațiului. Se spune că un câmp vector este potențial în domeniul examinat, dacă există un câmp scalar. a cărui gradient este egal cu. Astfel, ceea ce sa spus înseamnă asta







Scalar câmp. pentru care egalitatea (3.5) este valabilă se numește potențialul unui câmp vectorial.

Să presupunem că este dat un sistem de coordonate carteziene în spațiu. Apoi, proiectând (3.5) la axele de coordonate, ajungem la egalități:

Dacă coordonatele câmpului vectorial sunt continuu diferențiate, diferențiind (3.6) în raport cu variabilele potrivite și folosind teorema derivatelor mixte, este ușor să se obțină următoarele condiții necesare pentru potențialitatea unui câmp vectorial:

Reamintind formula (2.13) care exprimă matricea derivatului unui câmp vectorial în coordonate carteziene, se poate concluziona că condiția necesară pentru potențialitatea unui câmp vectorial diferențiat este simetria matricei sale derivate.

Lăsați câmpul vector să fie un câmp potențial în domeniu. - potențialul său (astfel încât), și a este o cale netedă (sau piesă-netedă) situată în domeniu. având o ecuație parametrică. .

Să calculam integral. Aplicând formula (3.4) și ținând seama de aceasta. avem

Conform formulei (1.19),

În consecință, avem egalitatea

Ecuația (3.8) arată că integrarea liniară într-un câmp de vector potențial nu depinde de forma căii, ci depinde doar de începutul și sfârșitul ei și este egală cu diferența de potențial la sfârșitul și la începutul căii.

Se pare că proprietatea unui integral într-un câmp vectorial nu depinde de forma căii nu este doar necesară, ci și condiții suficiente pentru potențialul acestui câmp vectorial. Cu alte cuvinte, următoarele sunt adevărate

TEOREM 3.1. Câmp vector. potențial dacă și numai dacă integrarea liniară în acest câmp nu depinde de forma căii.

Să demonstrăm că condiția pentru independența integrala liniară în câmpul vectorial de forma căii este suficientă pentru potențialul său. Necesitatea acestei condiții este exprimată prin egalitatea (3.8). Lăsați un anumit punct fix în domeniu. Luăm un punct arbitrar și ne gândim la o anumită cale. conectând un punct cu un punct și întins în întregime în regiune. O astfel de cale există, deoarece domeniul prin definiție este un set conectat liniar. Prin ipoteză, integrarea liniară într-un câmp vectorial nu depinde de forma traseului, deci pentru un început fix integratul liniar din câmp de-a lungul căii va depinde numai de punctul final. Am stabilit







Să arătăm că câmpul scalar este diferențiabil, iar incrementul său la un punct este reprezentabil în formă

în cazul în care. Conform definiției gradientului, aceasta va însemna că egalitatea este valabilă. și anume vector domeniul potențial. Folosind definiția unui câmp scalar. și de asemenea și proprietatea aditivității integralei liniare, pe care o obținem

Lăsați calea care leagă punctele și. există un segment. Acest segment poate fi dat de ecuația parametrică :. . Aplicând (3.4) informația integrala liniară la una definită, obținem

Deoarece, presupunând că câmpul vector este continuu,

în cazul în care. Luând în considerare egalitatea (3.12), partea dreaptă a (3.11) ia forma

Calculând primul termen pe partea dreaptă a (3.13), obținem. În ceea ce privește cel de-al doilea termen, aplicând apoi teorema valorii medii pentru aceasta, obținem. unde este unghiul dintre vectori și. a este un punct din intervalul (0,1), a cărui poziție pentru un vector fix este determinată de vector. Să o punem. Apoi, evident,. Luând în considerare acest lucru, (3.11) ia forma

Substituind (3.14) în (3.10) ajungem la o ecuație a formulei (3.9), de unde, așa cum am menționat deja, rezultă că. și anume că câmpul vectorial este potențial.

Vector circulația câmpului

Fie ca, mai sus, să fie un câmp vector definit și continuu într-o anumită regiune a spațiului. a este o cale închisă (adică o cale a cărei început coincide cu sfârșitul). Un integral liniar într-un câmp vectorial de-a lungul unei căi se numește circulația unui câmp vectorial de-a lungul acestei căi și este scris după cum urmează.

Fie ca câmpul vector să fie un câmp potențial și să fie un potențial. Apoi, după cum știm, pentru orice cale, egalitatea

unde este punctul inițial și este punctul final al căii. Dacă calea este închisă, atunci punctele ei inițiale și finale coincid; în consecință, (4.1) este reprezentată în formă. Astfel, circulația unui câmp de vector potențial de-a lungul oricărei căi închise este zero.

În schimb, să presupunem că în câmpul vectori pentru orice cale închisă, egalitatea rămâne. Luați în considerare două moduri și. având începuturi și sfârșituri identice. Indicăm, ca mai sus, calea opusă căii. Apoi, sfârșitul căii coincide cu începutul căii. astfel încât există o cale care este o uniune de căi și. Să o punem. Evident, este o cale închisă, astfel încât, conform presupunerii noastre, egalitatea să fie valabilă. Pe de altă parte, prin proprietățile de aditivitate și antisimetrie ale integrala liniară, următoarele egalități dețin:

În consecință ,. Astfel, integrarea liniară în câmpul vectorial nu depinde de forma căii, deci, conform teoremei 3.1, acest câmp vectoric este potențial.

Motivația de mai sus arată următoarele

TEOREM 4.1. Un câmp vectorial este potențial adevărat dacă și numai dacă circulația lui pe orice cale închisă este zero.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: