2. Bazele teoriei probabilității
Dispersia unei variabile aleatorii
Asteptarile matematice indica in ce punct valorile variabilei aleatoare sunt grupate. De asemenea, este necesar să se poată măsura variabilitatea unei variabile aleatorii în raport cu o așteptare matematică. Sa arătat mai sus că M [(X-a) 2] atinge un minim față de a pentru a = M (X). Prin urmare, este natural să luăm M [(X-M (X)) 2 ca indice de variabilitate a unei variabile aleatoare.
Definiția 5. Variația unei variabile aleatoare X este un număr
Să stabilim un număr de proprietăți de dispersie ale unei variabile aleatorii, care sunt utilizate în mod constant în metodele statistice probabiliste de luare a deciziilor.
Afirmația 8 arată în special modul în care varianța rezultatului observațiilor variază odată cu schimbarea punctului de referință și a unității de măsură. Acesta oferă regula de conversie a formulelor de calcul atunci când se schimbă la alte valori ale parametrilor de schimbare și de scalare.
Pentru dovada utilizării identității
Conform afirmației 6, independența lui X-M (X) și Y-M (Y) rezultă din independența lui X și Y. Din Aserțiunea 7 rezultă că
Deoarece M (X-M (X)) = 0 (a se vedea afirmația 3), partea dreaptă a ultimei egalități este egală cu 0, din care, luând în considerare cele două egalități precedente, urmează concluzia propoziției 9.
Raporturile stabilite în documentul de referință 10, sunt principalele caracteristici ale eșantionului de studiu, ca de observare sau de măsurare rezultatelor incluse în eșantion sunt considerate, în general, statistica matematică, teoria deciziei și econometrice ca realizări ale variabilelor aleatoare independente.
Pentru orice set de variabile aleatoare numerice (nu numai independente), așteptările matematice ale sumei lor sunt egale cu suma așteptărilor lor matematice. Această afirmație este o generalizare a 5. Dovada riguroasă este ușor de realizat prin inducția matematică.
În derivarea formulei pentru variația D (Yk), vom folosi următoarea proprietate a simbolului de sumare:
Folosim acum faptul că așteptarea matematică a unei sume este egală cu suma așteptărilor matematice:
Așa cum se arată în dovada propoziției 9, rezultă din independența pereche a variabilelor aleatorii luate în considerație că pentru. În consecință, numai termenii cu i = j rămân în suma (8). și ei sunt doar D (Xi).
Proprietățile fundamentale ale unor astfel de caracteristici ale variabilelor aleatoare ca așteptare matematică și varianță obținute în Propozițiile 8-10 sunt utilizate în mod constant în aproape toate modelele statistice probabiliste ale fenomenelor și proceselor reale.
Exemplul 9. Luați în considerare evenimentul A și variabila aleatoare X astfel încât, dacă și în cazul opus, adică în cazul în care. Se arată că M (X) = P (A), D (X) = P (A) (1 - P (A)).
Exemplul 10. Luați în considerare teste independente k, în fiecare dintre care poate apărea un eveniment A sau nu poate să apară. Introducem variabilele aleatoare X1, X2, ..., Xk dupa cum urmeaza: = 1, daca evenimentul A a avut loc in testul i, u = 0 altfel. Apoi, variabilele aleatoare X1, X2, ..., Xk sunt independent de perechi (a se vedea exemplul 7). Așa cum se arată în Exemplul 9, M (Xi) = p, D (Xi) = p (1-p). unde p = P (A). Uneori p este numit "probabilitatea succesului" - în cazul în care apariția unui eveniment A este considerată "succes".
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: