Adesea, atunci când se calculează limitele unei funcții, aplicarea imediată a teoremei limitelor nu duce la atingerea scopului dorit. De exemplu, nu se poate aplica teorema pe limita unei fracții dacă numitorul acesteia tinde la zero. De aceea, de multe ori înainte de a aplica aceste teoreme, este necesar să transformăm în mod identic funcția a cărei limită căutăm. Să luăm în considerare câteva metode de descoperire a incertitudinilor.
I. Incertitudinea speciei.
Un exemplu. Calculați limita
Atunci când înlocuim numărul 2 cu o variabilă x, vedem că se obține o incertitudine a formei. Pentru a extinde numărătorul și numitorul său dezvăluire de multiplicatori și anula factorul comun x + 2. Rezultatul este o limită nou, numitorul care, atunci când înlocuiește numărul variabil de -2 x nu este zero. Această limită este ușor de calculat de teoreme. Astfel, incertitudinea va fi dezvăluită.
Un exemplu. Calculați limita
Înlocuirea cu x = 0 dă o incertitudine a formei.
Înmulțiți numitorul și numitorul fracțiunii prin expresia adjoint la numărător:
II. Incertitudinea speciei.
Pentru divulgarea acestei incertitudini au nevoie fiecare termen al numărătorul și numitorul împărțit într-o variabilă în cea mai mare măsură și faptul că reciproca o magnitudine infinit de mare este o cantitate infima, dezvăluie incertitudinea inițială.
Un exemplu. Calculați limita
Aici, numitorul și numitorul nu au nicio limită, deoarece atât crește fără limită. În acest caz, avem incertitudinea formularului. Pentru dezvăluirea sa, divizăm fiecare termen într-o variabilă în cea mai mare măsură, adică pe x 4. Obținem:
Valorile sunt infinitezimale atunci când limitele lor sunt zero. În consecință, limita necesară este egală cu.
Un exemplu. Calculați limita
Avem incertitudinea formularului. Împărțim numerotatorul și numitorul cu x 2. Obținem:
Prima limită remarcabilă:
A doua limită remarcabilă:
A treia limită remarcabilă:
A patra limită remarcabilă: când. .
Adesea, dacă determinarea imediată a limitei unei funcții este complexă, atunci prin transformarea funcției, problema poate fi redusă la găsirea unor limite remarcabile.
Un exemplu. Calculați limita
Comparația funcțiilor infinitezimale
Fie funcțiile infinitezimale (x) și b (x) pentru x A. A. Aceste funcții infinitezimale pot fi comparate prin viteza de scădere a acestora, adică de viteza aspirației lor la zero.
De exemplu, funcția f (x) = x 10 tinde la zero mai repede decât funcția f (x) = x.
Funcțiile infinit de mici a (x) și b (x) pentru x ® A sunt considerate a fi echivalente cu infinitesimal if. Scrieți un (x)
Pentru x ® 0, următoarele funcții sunt echivalente cu un infinitesimal:
Trimiteți-le prietenilor: