În teoria convergenței secvențelor, unul dintre locurile centrale este chestiunea existenței unei limite pentru o secvență. Aici considerăm o clasă importantă și destul de simplă de secvențe pentru care această problemă este rezolvată relativ simplu.
Definiția 3.3. Secvență. . se spune că este în creștere monotonică dacă. care este, dacă pentru fiecare. Secvență. . se spune că se mărește în mod strict dacă pentru fiecare inegalitate există.
În mod similar, putem defini o secvență descrescătoare în mod monoton și în mod strict descrescător.
Secvențele de creștere și descrescătoare se numesc secvențe monotone.
Problema 3.10. Dovedeste ca suma a doua secvente in crestere creste.
Problema 3.11. Dovada că orice secvență ne-negativă poate fi reprezentată ca suma a două secvențe monotonice.
Problema 3.12. Dovediți că orice secvență care crește în mod monoton este mărginită mai jos.
Pentru a clarifica problema convergenței secvențelor monotonice, formulam și dovedim o teoremă de importanță fundamentală.
Teorema 3.6 (Weierstrass). Să presupunem că o secvență este în creștere monotonică și limitată de sus, atunci are o limită finită.
Dacă secvența este în creștere monotonică și limitată mai sus, atunci ea converge.
Dovada. Vom dovedi teorema pentru cazul unei secvențe crescătoare. Lasă-l să fie. . este limitat de sus. Apoi pentru setul valorilor sale există o limită superioară exactă :. Să dovedim asta.
Prin definirea limitei superioare exacte, în primul rând, pentru toți. și în al doilea rând, pentru orice număr există un astfel de număr. că inegalitatea deține. Deoarece secvența crește monotonic, atunci pentru toți. și, prin urmare, și. care este. Rezultă că. Teorema este dovedită.
Exemplul 3.15. Să presupunem că =. . Arătăm că această secvență converge. Aplicând binomul lui Newton, obținem:
Observăm că, în timp ce mergem de la k la fiecare termen crește
în cazul în care. și, în plus, se adaugă un termen suplimentar pozitiv. prin urmare, <. то есть последовательность возрастает. Далее, каждая из скобок меньше единицы и для всех натуральных справедливо
Prin urmare, pentru orice
adică, secvența noastră este limitată mai sus.
Conform teoremei Weierstrass, secvența are o limită. Această limită este notată de:
Din aceste estimări rezultă că. Se poate demonstra că e este un număr irațional, începutul expansiunii sale zecimale are forma.
Ca o altă aplicație a teoremei, vom dovedi o afirmație aparținând lui Cantor.
Lemma pe segmente imbricate. Să se dea o secvență de intervale numerice
pentru care. pentru oricine. adică fiecare segment succesiv este inclus în cel precedent. Să presupunem că secvența lungimilor acestor segmente tinde la zero.
Apoi, capetele acestor segmente tind spre limita generală:
care este singurul punct care aparține tuturor segmentelor.
Dovada. Luați în considerare secvența. . stânga a acestor segmente. Aceasta este o secvență în creștere monotonică, care este deasemenea limitată mai sus: pentru toate valorile. Indicăm limita unei secvențe prin.
- monotone descrescătoare și limitate sub secvență. Vom desemna :. Deci, cum. atunci. Pentru toți. și, în consecință. Utilizarea condiției. obținem. În mod evident, acesta este singurul punct care aparține tuturor segmentelor. Lemma este dovedită.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: