Funcții injective.
Printre funcțiile considerate în matematică, un rol important îl joacă funcțiile injective.
Determinare. Se spune că o funcție este injectivă dacă, pentru orice x, y (m), rezultă din condiția respectivă
Cu alte cuvinte, funcția este injectabilă dacă pentru oricare dintre lucrurile pe care le urmează
În virtutea legii contrapoziției, rezultă din definiția că funcția este injectabilă dacă și numai dacă pentru orice, dacă, atunci, adică pentru diferite argumente funcția are valori diferite.
Determinare. Un cartuș injectabil al unui set A neimprimat pe el însuși se numește o permutare a setului A sau o transformare a setului A.
În special, o permutare este reprezentarea identității sau a unității (a lui A în sine, adică o mapare astfel încât) pentru fiecare din A.
PROPUNERE 3.8. Dacă este o mapare din setul A la setul B, atunci
TEOREM 3.9. Compoziția oricăror două funcții injectabile este o funcție injectivă.
Dovada. Să fie funcții injectabile. Prin urmare, datorită injectabilității pentru oricare, apoi, în continuare, datorită injectării lui g pentru oricare, dacă, atunci, prin urmare, pentru oricare, dacă atunci, prin urmare, pentru oricare, dacă apoi. Astfel, funcția este injectivă.
Corolar 3.10. Compoziția oricăror două permutări ale setului A este o permutare a setului A.
Acest corolar urmează direct din teoremele 3.4 și 3.9.
Să fie o funcție. Inversiunea unei funcții poate să nu fie o funcție. De exemplu, dacă o funcție este dată în cazul în care Z este mulțimea tuturor întregurilor, atunci relația nu este o funcție, deoarece conține perechi (1,1) și elemente neuniforme și elemente secundare diferite.
Cu toate acestea, pentru o funcție în cazul în care este set de toate întregi non-negativ, inversiunea este o funcție.
PROPUNERE 3.11. Dacă f și g sunt funcții, atunci
Această propunere urmează imediat din Propoziția 2.1 și Teorema 2.3.
Corolar 3.12. Dacă f este o mapare a setului A pe B și este o funcție, atunci este o mapare a setului B pe A.
TEOREM 3.13. Inversiunea unei funcții f este o funcție dacă și numai dacă funcția f este injectivă.
Dovada. O relație este o funcție dacă și numai dacă pentru orice x, y, z, dacă atunci Această condiție este echivalentă cu condiția de injectare a funcției
pentru orice, dacă, atunci Relația este o funcție dacă și numai dacă funcția f este injectivă.
Corolar 3.14. Dacă f este o funcție injectabilă, atunci este și o funcție injectivă. În acest caz, dacă o mapare injectabilă a lui A pe B, adică o cartografiere injectabilă a lui B pe A.
TEOREM 3.15. Fie f, g, h funcții care îndeplinesc următoarele condiții:
Apoi, dacă funcția f este injectivă, atunci
Dovada. Să presupunem că funcția este injectivă. Având în vedere condițiile (1) și (2)
Deoarece f este injectiv, rezultă că pentru oricare dintre. În plus, având în vedere De aceea,
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: