Sarcina 1

1. Vom găsi strategiile optime pentru jucătorii într-un joc definit de o matrice de plată

În primul rând, hai să verificăm dacă există un punct de șa în acest joc.

Prețul mai mic al jocului este max = 4.







Prețul de top al acestui joc este min = 7.

Deoarece. atunci punctul de șa pentru acest joc nu este, iar soluția ar trebui căutată în strategii mixte.

Din punct de vedere grafic, acele jocuri matrice sunt rezolvate în care cel puțin unul dintre jucători are doar două strategii pure. Sarcina acestui jucător este rezolvată grafic. În Problema 1, primul jucător are două strategii pure, iar al doilea jucător are patru, deci vom rezolva grafic prima problemă a primului jucător.

Strategia mixtă a primului jucător este dată de vector. Construcțiile sunt realizate după cum urmează. Pe linia orizontală, se pune o secțiune de lungime a unității, care caracterizează probabilitatea utilizării strategiilor pure ale primului jucător. Fiecare punct al acestui segment este asociat cu o strategie mixtă a primului jucător în conformitate cu următoarea regulă: distanța de la punctul la capătul din dreapta al segmentului specifică o valoare. iar distanța până la capătul stâng este o valoare (a se vedea Figura 1.1). Pentru cantitățile definite în acest fel, relațiile sunt satisfăcute. . prin urmare, în conformitate cu (5), vectorul specifică strategiile mixte ale primului jucător.

Apoi, punctul 0 specifică vectorul (1, 0), adică. E. Prima strategie pură a primului jucător și punctul 1 stabilește vectorul (0, 1), T. E. O a doua strategie pură primul jucător. Mai mult, prin capetele unui singur segment, sunt trase linii verticale. Aceste linii amână câștigurile primului jucător când al doilea jucător aplică diferitele sale strategii pure. Astfel, câștigurile în cazul primelor strategii primul jucător net dispuse pe linia verticală din stânga, și care corespund celui de al doilea primul jucător strategie net - pe verticală din dreapta. Punctele verticale stânga și dreapta, care corespund aceleiași strategii pure a celui de-al doilea jucător, sunt legate prin segmente.

Figura 1.2 arată câștigurile primului jucător când al doilea jucător folosește prima strategie curată. Numerele romane indică faptul că cel de-al doilea jucător aplică prima strategie pură.







Orice punct K al acestui segment cu coordonate și arată că dacă primul jucător va aplica strategia sa mixtă. iar al doilea jucător - prima sa strategie pură, atunci câștigul mediu al primului jucător va fi egal.

Construcții similare sunt realizate pentru strategiile pure rămase ale celui de-al doilea jucător (Figura 1.3). Numerele romane indică numărul strategiei sale pure.

Marcajul bold este marcat cu o linie întreruptă corespunzătoare limitei inferioare a câștigurilor primului jucător, adică oferindu-i un câștig mediu garantat. Punctul M este cel mai mare câștig garantat primului jucător (deoarece M - cel mai înalt punct al liniei rupt). Acest punct este intersecția segmentelor corespunzătoare primei și celei de a doua strategii pure a celui de-al doilea jucător. Aceste strategii sunt numite active. Cel de-al doilea jucător le va folosi în strategia sa optimă mixtă, cu o probabilitate diferită de zero. Segmentele corespunzătoare treia și a patra Strategii curate doilea jucător, nu trec prin punctul M, astfel încât această strategie la optimă doilea jucător strategie mixtă va probabilităților cu zero, deoarece punerea în aplicare a acestora ar duce la o mai mare pierderea al doilea jucător. Astfel de strategii sunt numite pasive.

Atunci când se stabilește strategia mixtă optimă a primului jucător și prețul jocului, se folosește următoarea declarație:

Propoziția 1. Dacă un jucător folosește strategia optimă mixt, câștigurile sale va fi egal cu prețul de joc, indiferent, ce probabilitățile celălalt jucător folosește strategia activă.

Să scriem relațiile pentru găsirea strategiei mixte optime a primului jucător, pe baza instrucțiunii 1. În exemplul nostru, funcția de plată, în conformitate cu (7), arată ca:

Să presupunem că strategia optimă mixtă a primului jucător este. Conform declarației 1, acesta va primi un premiu egal cu prețul jocului. cu orice probabilitate al doilea jucător folosește strategiile sale active. Vom lua în considerare cazurile în care cel de-al doilea jucător folosește strategiile pure active, adică fie prima, fie a doua.

Deci, permiteți-i să fie. . Apoi.

Lasă-l să fie. . Apoi. Ecuați aceste valori la prețul jocului și adăugați ecuația. obținem un sistem de ecuații:

Rezolvând acest sistem, obținem

Acum găsim strategia optimă mixtă a celui de-al doilea jucător. Lăsați-o să fie dată de un vector. Aici am luat în considerare faptul că a treia și a patra strategie pură a celui de-al doilea jucător sunt pasive. Să notăm valoarea pierderii celui de-al doilea jucător, dacă aplică strategia sa mixtă optimă, iar primul jucător - strategiile sale curate.

Aplicăm afirmația 1, ținând seama de faptul că se găsește prețul jocului și este egal cu sistemul de ecuații:

Rezolvând acest sistem, ajungem. Deci, strategia optimă mixtă a celui de-al doilea jucător este dată de vector.

Răspunsul la această problemă va fi scris ca:







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: