6.1. Rangul matricei. Să ne întoarcem la matrice. Luați în considerare o matrice arbitrară de dimensiune x. Acesta poate fi considerat ca o colecție de șiruri de lungime. și anume set de vectori din spațiul R n.
Definiția. Clasarea pe rânduri a matricei este rangul sistemului de rânduri.
Notația: sau rr (A).
Pe de altă parte, matricea poate fi considerată ca un set de coloane înălțime. și anume set de vectori din spațiul R m.
Definiția. Rangul sistemului de coloane este rangul sistemului de coloane.
Denumire: sau rv (A).
Înainte de a demonstra această teoremă, formăm și demonstrăm lema.
Lema. Transformările elementare nu se modifică nici în funcție de rang, nici în funcție de coloană.
Dovada. A). Fie matricea obținută din matrice prin aplicarea unei transformări elementare de tip I. Egalitatea rr () = rr (A) este evidentă, deoarece ordinea rândurilor nu poate afecta dependența lor liniară. Acum permiteți obținerea matricei din matrice prin aplicarea unei transformări elementare de tip II :. Clasarea după rânduri nu poate crește: dacă - sistemul maxim liniar independent de rânduri, atunci
și anume Noua linie este exprimată liniar prin același sistem de rânduri liniar independente. Aceasta înseamnă că rr () rr (A). Observăm că transformarea inversă este de asemenea o transformare elementară de tip II :. și prin urmare rr (A) rr (). Prin urmare rr () = rr (A).
B). Acum considerăm clasarea după coloană. Fie ca un sistem de coloane să fie liniar dependent:
Numerele reprezintă o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice formată din coloane. Dar transformările elementare ale matricei nu schimbă setul de soluții ale sistemului de ecuații liniare, prin urmare setul de numere va fi o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice formată din coloane. Aceasta înseamnă că aceste coloane după transformare au rămas dependente liniar și nu au apărut noi sisteme de coloane independente liniar și rB () rB (A). Dar, deoarece transformarea inversă este de asemenea o transformare elementară, atunci rB (A) rB (). Prin urmare, rB () = rB (A). Lemma este dovedită.
Acum continuăm să dovedim teorema privind rangul matricei.
Dovada teoremei. Observăm că, prin aplicarea transformărilor elementare, putem aduce matricea într-o formă asemănătoare pasului:
Coloane. care corespund pașilor noștri (numărul lor este egal) sunt independente liniar. Pentru a arăta acest lucru, presupuneți contrariul: să presupunem
Începând să rezolvăm acest sistem din ultima ecuație, obținem asta combinația liniară este trivială. Prin urmare, rB (). Pe de altă parte, coloanele matricei pot fi considerate elemente ale spațiului Rr ("tăierea" ultimelor elemente zero), deci rb (). Prin urmare, rB ().
Să ne uităm la linii. Rândurile sunt independente liniar, deoarece egalitatea implică
Rezolvarea succesivă a acestui sistem de ecuații și luarea în considerare a acestuia. obținem: Deci aceste linii sunt independente liniar, și rr (). Pe de altă parte, setul de vectori nu poate avea un rang superior. prin urmare rr () =. Astfel, rr () = rb () =. Teorema este dovedită.
6.2. Minorul de bază. Rangul matricei poate fi calculat diferit. Reamintim că o astfel de matrice minoră, puțin generalizând acest concept. Nu luăm întreaga matrice, ci doar acele elemente care stau la intersecția unor rânduri și coloane:
Determinantul unei astfel de matrice este numit minor. Numărul de rânduri (coloane) ale unui minor se numește ordinea minorului.
Dacă există cel puțin un element nonzer în matrice, atunci există un minore nonzero de ordinul 1. Evident, pentru o matrice de dimensiune x, ordinea maximă a minorului este.
Să presupunem că matricea are un minus nonzero de ordine și că toți minorii ordinii sunt egali cu 0. O astfel de minore, de ordin maximal, se numește de bază.
Definiția. Minorul de bază este un minore nonzero de ordin maximal.
Teorema (pe baza minorului). Ordinea minorului de bază este egală cu rangul matricei.
Dovada. 1). Arătăm că dacă minorul este diferit de zero, atunci rândurile sunt liniar independente. Să presupunem contrariul. Fie ca aceste linii să fie dependente liniar; una dintre liniile, de exemplu, este exprimată liniar prin restul:
Apoi, în minor vom scădea această combinație liniară de linii de la ultima linie - vom obține linia zero. Folosind proprietățile determinantului, obținem că acest minor este zero.
2). Arătăm că dacă minorul este unul fundamental, atunci toate rândurile matricei sunt exprimate liniar în termeni de. Formăm determinantul ordinii. adăugând la linii încă o linie - cu numărul. și la coloane - încă o coloană - cu număr:
Determinantul unei astfel de matrice este zero: dacă coincide cu unul dintre numere sau dacă numărul coincide cu unul dintre numere, atunci vom obține o matrice cu aceleași rânduri sau coloane. Dacă nu. nu coincid cu numerele rândului sau coloanei, atunci determinantul este zero prin definiția minorului de bază.
Extinim acest determinant din ultima coloană:
Dar acesta este minorul de bază! prin urmare,
Observând că complementul algebric nu depinde de (dar numai pe elementele minorului de bază și cel de-al rândului), constatăm că rândul este exprimat liniar în termenii rândurilor care intră în minorul de bază.
Să rezumăm. Am obținut că rândurile care apar în minorul de bază sunt liniar independente, iar toate celelalte rânduri sunt exprimate liniar prin ele. Prin urmare, aceste linii formează sistemul maximal linear independent în setul de rânduri ale matricei și numărul lor - adică ordinea minorului de bază este egală cu rangul matricei. Teorema este dovedită.
6.3. Teoria lui Kronecker-Capelli Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem.
Dovada. 1). Să presupunem că avem un sistem de ecuații
Să presupunem că este compatibil și că mulțimea de numere este o soluție a acestuia. Dar apoi
(amintiți-vă, coloana a matricei). Cu alte cuvinte, coloana este exprimată liniar prin coloanele matricei originale și, prin urmare, rangul sistemului de coloane este egal cu rangul sistemului. și anume Rangul matricei este egal cu rangul matricei extinse.
2). Să se știe că rangul matricei este egal cu rangul matricei extinse.
Apoi sistemul maximal independent al coloanelor matricei rămâne sistemul maximal independent al coloanelor matricei extinse. iar coloana este exprimată liniar prin coloanele matricei:
Dar apoi setul de numere este soluția sistemului original, adică sistemul este cooperant. Teorema este dovedită.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: