Liniar algebră

5.2. Valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar

5.3. Operatorul conjugat

Definiția. Fie A un operator liniar care acționează în R n. Un număr este numit o valoare proprie și un vector nonzer este vectorul propriu corespunzător al operatorului liniar A. Dacă acestea sunt legate de o relație.

1. Operatorul zero. , Ie Este valoarea proprie a operatorului zero, iar vectorii proprii sunt vectori nonzero ai spațiului R n.
2. Operatorul identic (unitate) I: - adică valoarea proprie a operatorului de identitate, iar vectorii proprii sunt toti vectorii nonzero ai spatiului R n.
3. Operatorul P2 este operatorul de proiecție al spațiului R3 pe subspațiul R 2 paralel cu vectorul: - valoarea proprie a operatorului, proiecția și vectorii proprii corespunzători sunt toți vectorii nenuloși R 3. A treia coordonată a acestora este egală cu zero.

Fie A matricea operatorului într-o anumită bază în Rn. Apoi pentru valoarea proprie și pentru coloana vectorială a coordonatelor vectorului propriu corespunzător,

Ie Valorile proprii ale operatorului și vectorii proprii corespunzători sunt legați de relația. unde E este matricea unității și a este vectorul zero Rn.

Aceasta înseamnă că vectorul propriu al operatorului este o soluție diferită de zero a unui sistem omogen omogen. Un sistem omogen are o soluție nonzero dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este zero. Prin urmare, numărul este o valoare proprie a operatorului A dacă și numai dacă. Valorile proprii ale operatorului liniar pot fi calculate ca rădăcini ale ecuației și vectorii proprii ca soluții ale sistemelor omogene corespunzătoare.

Definiția. Un polinom este numit polinomul caracteristic al operatorului, iar ecuația se numește ecuația caracteristică a operatorului.

1. Operatorul zero. , matricea operatorului zero este matricea zero a ordinului corespunzător, adică și anume Valoarea proprie unică a operatorului zero și vectorii proprii corespunzători sunt toți vectorii nonzero ai spațiului R n.
2. Operatorul identic (unitate) I: matricea operatorului de identitate este matricea identității ordinului corespunzător, adică și anume Valoarea personală unică a operatorului de identitate și vectorii proprii corespunzători sunt toți vectorii nonzero ai spațiului Rn.
3. Operatorul de proiecție Operator P2- spațiu pe subspațiul R3 R2 vectori paraleli, atunci operatorul matricea de identitate - matricea identitate de comandă corespunzătoare, adică și anume și u sunt valorile proprii ale operatorului. Să găsim vectorii proprii corespunzători. Fie vectorii proprii corespunzători soluții non-zero ale sistemului;

Este un vector propriu al operatorului care corespunde valorii proprii și, prin urmare, toți vectorii formei sunt vectorii proprii ai operatorului care corespund valorii proprii.

Acum, setăm, atunci vectorii proprii corespunzători sunt soluții nonzero ale sistemului;

- vectori liniar independenți, care sunt proprietatea vectorilor operatorului corespunzătoare valorii proprii și, astfel, toți vectorii de forma - vectorii proprii corespunzătoare valorii proprii.

4. Operatorul Uj al rotirii spațiului R 2 cu un unghi de j în raport cu originea coordonatelor în sens invers acelor de ceasornic :.

Matricea operatorului, atunci

Ecuația caracteristică are o rădăcină unică pentru și cu. Dacă ,, și adică vectorii proprii corespunzători sunt toți vectorii nonzero ai spațiului R2.

Când - operatorul de rotație nu are vectori proprii.

În cele din urmă, pentru u, operatorul de rotație coincide cu operatorul de identitate, ale cărui valori proprii și vectori proprii sunt calculați mai sus.

Pentru valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar, următoarele afirmații dețin:

1) polinomul caracteristic al operatorului care acționează în Rn este un polinom de grad n în raport cu și nu depinde de alegerea bazei;

2) operatorul liniar care acționează în Rn are cel mult n valori proprii distincte;

3) vectorii proprii care corespund diferitelor valori proprii sunt independenți liniar.

Ultima afirmație din prelegere este dovedită.

Dacă operatorul liniar care acționează în R n. are n numere proprii distincte, atunci vectorii proprii ai operatorului formează o bază în R n.

Definiția. O bază compusă din vectorii proprii ai unui operator liniar se numește baza proprie a operatorului.

Dacă, dacă este o eigenbasis a operatorului A. atunci, deoarece matricea operatorului pe această bază este o matrice diagonală cu valori proprii pe diagonală.

Evident, urmărește următoarea teoremă.

Teorema. Matricea unui operator liniar are o formă diagonală dacă și numai dacă este scrisă într-o bază compusă din vectori proprii.

Teorema este dovedită în prelegere.

Reamintim că în spațiul Rn se definește produsul scalar al vectorilor:

Definiția. Dacă există un operator B astfel încât pentru orice u în R n este adevărat. atunci operatorul B este numit operator adjunct operatorului A și este notat cu A *:

Un exemplu. Considerăm că operatorul U j al rotației spațiului R2 cu un unghi de j în raport cu originea coordonatelor în sens invers acelor de ceasornic:

Ie Operatorul adjoint operatorul spațiu de întoarcere R 2 printr-un unghi j în raport cu originea invers acelor de ceasornic - spațiul R 2 printr-un unghi de rotație al operatorului - j în raport cu originea invers acelor de ceasornic.

Matricele operatorilor de rotație prin unghiul j și unghiul - j sunt, respectiv, forma:

Teorema. Dacă A - operator liniar în R nand A - matricea sa în unele baze ortonormală, operatorul are un operator adjoint și matricea operatorului Adjoint în aceeași bază - este matricea A T.

Teorema este dovedită într-o prelegere.

• că operatorul liniar se conjugă cu un operator liniar;
• polinoamele caracteristice ale operatorilor coincid.

Definiția. Dacă pentru orice u în R n este adevărat. atunci operatorul A este numit operator de auto-îmbinare.

Se poate arăta (nu este prezentat în prelegere) că un operator auto-adjoint are o bază corect ortonormală.

Din moment ce A = A *, matricea unui operator self-joint este o matrice simetrica.

• scriem matricea operatorului A în original;
• vom scrie ecuația caracteristică și vom calcula rădăcinile ei (găsim valorile proprii ale operatorului);
• găsiți baza adecvată a operatorului (dacă există);
• vom scrie forma diagonală a matricei operatorului - o matrice diagonală cu valori proprii pe diagonală.

• scriem matricea C a cărei coloane sunt coordonatele vectorilor proprii (vectorii eigenvectori);
• cu formula C -1 AC gasim forma diagonala a matricilor operatorului - matricea operatorului pe baza sa proprie.

Articole similare

• Floristica pentru stilul liniar de floristica, stiluri de floristica 1

• Ao "prinț" descriere a sistemelor credo plan topografic și anchete liniare

• Andrei Lobanov - locotenent de la linia de croazieră Izmail - pagina 6

Trimiteți-le prietenilor: