O hiperbolă este locusul de puncte. pentru care diferența de distanțe față de două puncte fixe ale planului, numită focare, este o constantă; diferența indicată este luată peste valoarea absolută și este notată, de regulă, de 2a. Focurile hiperboliei sunt notate cu literele F1 și F2, distanța dintre ele fiind notată cu 2c. Prin definiție, hiperbola 2a2-y2 = a2 sau -x2-y2 = a2.
Numărul. unde a este distanța de la centrul hiperbolă la vârful ei, se numește excentricitatea hiperboliei. Evident. pentru fiecare hiperbolă> 1. Dacă M (x, y) - un punct arbitrar al hiperbola, segmentele de linie și P1M F2M (vezi figura 18 ..) este numit-vayutsya punct focal raze M. punctele focale ale razelor de dreapta ramură hiperbola se calculează prin formule
Radiografiile focale ale punctelor de pe ramura stângă sunt date de formule
Dacă hiperbola este dată de ecuația (1), atunci liniile definite de ecuații
se numesc direcțiile sale directe (vezi Figura 18). Dacă hiperbola este dată de ecuația (2), atunci direcțiile directoare sunt definite de ecuațiile y = x =
Fiecare direcție directoare are următoarea proprietate: dacă r este distanța de la un punct arbitrar al hiperboliei la un anumit focalizare. d este distanța de la același punct la direcția directă unidirecțională cu acest focalizare, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea hiperbolației: =.
616. Scrieți ecuația hiperbola. a căror focare se află pe axa absciselor, este simetrică cu privire la originea coordonatei, știind în plus că:
1) axa sa 2a = 10 și 2b = 8;
2) distanța dintre focare este 2c = 10 și axa 2b = 8;
3) distanța dintre focarele 2c = 6 și excentricitatea ε =;
4) axa 2a = 16 și excentricitatea ε =;
5) ecuațiile asimptote
și distanța dintre focurile 2c - 20;
6) distanța dintre direcția directă este 22 - iar distanța dintre focarele 2c = 26;
7) distanța dintre direcțiile directe este egală cu axa 2b = 6;
8) distanța dintre direcțiile directe este egală cu excentricitatea ε =;
9) ecuația asimptote y = ± și distanța dintre direcțiile directe este 12 516. Scrieți ecuația hiperbola. ale căror focare sunt situate pe axa de ordonare, este simetrică cu privire la originea coordonatelor, cunoscând în plus că:
1) semiaxele sale a = 6, b = 18 (se caracterizează prin litera a semiaxisul hiperbola localizat pe axa absciselor);
2) distanța dintre focarele 2c = 10 și excentricitatea
3) ecuațiile asimptote
iar distanța dintre vârfuri este de 48;
4) distanța dintre direcțiile directe este egală cu excentricitatea ε =;
5) ecuația asimptotei y = ± și distanța dintre direcțiile directe este egală cu.
517. Determinați semi-axele a și b ale fiecăruia dintre următoarele hiperbola:
518. Hiperbola este dat 16x2 - 9y2 = 144. Găsiți: 1) semiaxurile a și b; 2) trucuri;
3) excentricitate; 4) ecuațiile asimptote; 5) ecuațiile directrix.
619. Având în vedere hiperborea 16x 2 - 9y 2 = -144. Găsiți: 1) semiaxurile a și b; 2) trucuri; 3) excentricitate; 4) ecuațiile asimptote; 5) ecuațiile directrix.
520. Calculați zona triunghiului format de asimptotele hiperboliei
521. Determinați ce linii sunt determinate de următoarele ecuații:
Desenați aceste linii pe desen.
Construiți ecuațiile liniilor pe care se află razele focale ale punctului M1.
523. Asigurați-vă că punctul M1 (-S;) se află pe hiperbola
determină raza focală a punctului M1.
524. Excentricitatea gruparea e hiperbola = 2, punctul focal al razei s M. realizat de un accent este 16. Se calculează distanța până la punctul M la unilaterala aceasta se concentreze director Tris.
525. Excentricitatea gruparea e hiperbola = 3, distanța de la punctul M la directricea de hiperbola este 4. Se calculează distanța până la punctul M la focalizarea, singur acest directricea.
526. Excentricitatea hiperboliei este ε = 2, centrul ei fiind de origine. una dintre focarele lui F (12; 0). Calculați distanța de la punctul M1 al hiperboliei cu abscisa egală cu 13, la direcția directă care corespunde focarului dat.
527. Excentricitatea hiperboliei. centrul său se află la origine. una dintre direcțiile directe este dată de ecuația x = - 8. Calculați distanța de la punctul M1 al hiperbolei cu abscisa egală cu 10, la focalizarea corespunzătoare direcției directe date.
528. Determinați punctele hiperboliei. a cărui distanță față de focalizarea corectă este de 4,5.
529. Determinați punctele hiperboliei. distanța dintre care la focul din stânga este 7.
530. Perpendicularul pe axa care conține vârfurile este tras prin focalizarea stângă a hiperbolei. Determinați distanțele de la focuri până la punctele de intersecție ale acestei perpendiculare cu hiperbola.
531. Folosind o busolă, construiți focurile hiperboliei (presupunând că sunt arătate axele coordonatelor și unitatea de scală este dată).
532. Scrieți ecuația hiperbola. a căror focare se află pe axa absciselor simetric în raport cu originea, dacă este dată:
2) punctul M1 (- 5; 3) hiperbola și excentricitatea ε =;
3) punctul M1 (; -1) al ecuațiilor hyperbola și asymptote y = ;
4) punctul M1 (-3;) al hiperboliei și ecuațiile direcției direct y = ;
5) ecuațiile asimptote y = și ecuațiile directrix x = ;
533. Determinați excentricitatea unei hiperbola echilaterale.
534. Determinați excentricitatea hiperboliei dacă segmentul dintre vârfurile sale este vizibil din focarele hiperboliei conjugate la un unghi de 60 °.
535. Focurile hiperboliei coincid cu focarele elipsei
Scrieți ecuația hiperbolă dacă eccentricitatea ei este ε = 2.
536. Construiește ecuația hiperbolă a cărei focare se află la vârfurile elipsei = 1, iar direcțiile directe trec prin focurile acestei elipse.
537. Dovada că distanța de la centrul de hiperbola
înainte ca asimptotul său să fie egal cu b.
538. Dovedeste ca produsul distantelor din orice punct al hiperbolei
până la două dintre asimptotele sale este o valoare constantă egală cu.
539. Dovedeste ca zona unui paralelogram limitat de asimptotele unei hiperbola
și linii drepte trase prin oricare dintre punctele sale paralele cu asimptotele, este o valoare constantă egală cu.
540. Scrieți ecuația hiperbolă dacă sunt cunoscute semi-axele a și b, centrul C (x0; y0) și focarele sunt situate pe linie:
1) axa paralelă Ox;
2) paralel cu axa Oy.
541. Stabiliți că fiecare dintre următoarele ecuații definește o hiperbolă. și găsiți coordonatele centrului C, semiaxisul, excentricitatea, ecuațiile asimptote și ecuațiile directrix:
1) 16x2 - 9u 9 - 64x - 54u-161 = 0;
2) 9x2 - 16y2 + 90x + 32y - 367 = 0;
3) 16x2 - 9u2 - 64x - 18u + 199 = 0.
542. Determinați ce linii sunt definite prin următoarele ecuații:
Desenați aceste linii pe desen.
543. Scrieți ecuația unei hiperbola, știind că:
1) distanța dintre vârfurile sale este de 24 și focurile sunt F1 (-10; 2), F2 (16; 2);
2) focarele sunt F1 (3; 4); F2 (-3; -4), iar distanța dintre direcțiile directe este de 3,6;
3) unghiul dintre asimptote este de 90 ° și focarele sunt F1 (4; -4), F2 (-2; 2)
544. Scrieți ecuația de hiperbolă dacă eccentricitatea ε = este cunoscută. focalizarea F (5; 0) și ecuația di-rectrică corespunzătoare 5x-16 = 0.
545. Scrieți ecuația hiperbolației dacă este cunoscută o excentricitate ε =. focalizarea F (0; 13) și ecuația direcției directe corespunzătoare 13y-144 = 0.
546. Punctul A (- 3; -5) se află pe hiperbola, a cărui concentrare este F (-2; -3), iar direcția directă corespunzătoare este dată de ecuația x + 1 = 0. Scrieți ecuația pentru această hiperbolă.
547. Scrieți ecuația hiperbola dacă este cunoscută excentricitatea ei ε =. focalizarea F (2; -3) și ecuația direcției directe corespunzătoare 3x-y + 3 + 0
548. Punctul M1 (1; -2) se află pe hiperbola, focul căruia este F (-2; 2), iar direcția directă corespunzătoare este dată de ecuația 2x-y-1 = 0. Scrieți ecuația pentru această hiperbolă.
549. Dăm ecuația unei hiperbolări echilaterale x 2 -y 2 = a 2. Găsiți ecuația sa în noul sistem, luând asimptotele ca axe de coordonate.
550. După ce a stabilit că fiecare dintre următoarele ecuații definește o hiperbolă. găsiți pentru fiecare dintre ele centrul, semiaxele, ecuațiile asimptotelor și construiți-le pe desen:
1) xx = 18, 2) 2xi-9 = 0, 3) 2xy + 25 = 0.
551. Găsiți punctele de intersecție a liniei 2x-y-10 = 0 și hiperbola -
552. Găsiți punctele de intersecție a liniei drepte 4x-3y-16 = 0 și hiperbola-
553. Găsiți punctele de intersecție a liniei 2x-y + 1 = 0 și hiperbola -
554. În următoarele cazuri, determinați modul în care se află linia relativă la hiperbola - fie intersectează, atinge sau trece în afara ei:
555. Determinați pentru ce valori ale lui m linia dreaptă y = 5x + m:
1) intersectează hiperbola. 2) se referă la ea;
3) trece dincolo de această hiperbolă.
556. Derulați condiția sub care linia y = kx + m este tangentă la hiperbola.
557. Scrieți ecuația tangentei la hiperbolă.
558. Dovada că tangentele la hiperbolă, trase la capetele aceluiași diametru, sunt paralele.
559. Scrieți ecuațiile de tangente la o hiperbolă,
perpendicular pe linia dreaptă 4x + 3y-7 = 0.
560. Scrieți ecuațiile de tangente la o hiperbolă,
paralel cu linia dreaptă 10x -3y + 9 = 0.
561. Desenați tangente la hiperbolă. paralel cu linia dreaptă
și se calculează distanța d între ele.
562. Despre hiperbolă. găsiți punctul M1; cel mai apropiat de linie
și se calculează distanța d de la punctul M1 la această linie.
563. Construiți ecuațiile de tangente la hiperbola x 2 -y 2 = 16, trase din punctul A (-1; -7).
564. Tangentele la hiperbola sunt extrase din punctul C (1; -10). Scrieți ecuația coardei care conectează punctele de tangență.
565. Tangentele la hiperbola sunt extrase din punctul P (1; -5).
Calculați distanța d de la punctul P la coarda hiperboliei care conectează punctele de tangență.
566. hiperbola trece prin punctul A (3) și tangent la linia 9x 2y + -15 = 0. Creează această ecuație hiperbolă cu condiția ca axa sa să coincidă cu axele de coordonate.
567. Crearea ecuația hiperbolă legate două linii: 5x - 6v = 0 -16, -48 -10u 13x = 0, cu condiția ca ee axe coincid cu axele de coordonate.
568. După ce sa asigurat că punctele de intersecție a elipsei. și hiperbola sunt vârfurile unui dreptunghi,
trageți ecuațiile laturilor sale.
569. Există o hiperbolă și o anumită tangență a ei; P este punctul de intersecție a tangentei cu axa Ox. Q este proiecția punctului de tangență pe aceeași axă. Dovedeste ca OP-OQ = a 2.
570. Dovada că focurile hiperboliei sunt situate pe laturile opuse ale oricărei tangente.
571. Dovedeste ca produsul distantelor de la focuri pana la orice tangenta la hiperbola. este o constantă egală cu b 2.
572. Linia dreaptă 2x-y-4 = 0 se referă la hiperbolă a cărei focare se află la punctele F1 (-3,0) și F2 (3; 0). Scrieți ecuația pentru această hiperbolă.
573. Găsiți ecuația hiperbola, care se concentrează-locație cu soția sa pe abscisă, simetric în raport cu originea, dacă cineva cunoaște ecuația tangentei la hiperbola 15x + 16U - 36 = 0, iar distanța dintre vârfurile 2a ee = 8.
574. Pentru a dovedi că linia dreaptă referitoare hiperbola la un punct M este unghiuri egale cu F1M focal raze. F2M. și trece în interiorul unghiului F1MF2.
575. Din partea dreaptă a hiperbola
la un unghi α (π ≤ α ≤ 3/2 π), o rază de lumină este direcționată către axa Ox. Se știe că tan α = 2. După ce a ajuns la hiperbola. fasciculul de la ea a fost reflectat. Scrieți ecuația liniei pe care se află raza reflectată.
576. Evidențiați că o elipsă și o hiperbolă având focare comune se intersectează într-un unghi drept.
577. Coeficientul de comprimare uniformă a planului la axa Ox este egal cu. Determinați ecuația liniei în care hiperbola este transformată sub această compresie. Aruncă o privire. Vezi Problema 509.
578. Coeficientul de compresie plan uniform este egal cu axa y -, Se determină ecuația liniei, care în același compresie convertit hiperbolă
579. Găsiți ecuația unei linii în care o hiper-bola convertit x2-y2 = 9, cu două comprimări succesive plan uniform la axele de coordonate, în cazul în care un raport de compresie uniform plan cu axele Ox și Oy, respectiv și.
580. Determinați coeficientul q de comprimare uniformă a planului la axa Ox, sub care hiperbola este transformată într-o hiperbolă.
581. Determinați coeficientul q de comprimare uniformă a planului pe axa Oy, sub care hyperbola este transformată într-o hiperbola.
582. Determinați coeficienții ql și q2 ai două contracții plane uniforme succesive pe axele Ox și Oy. sub care hiperbola este transformată într-o hiperbolă.
Trimiteți-le prietenilor: