Este adesea posibil să se stabilească dacă sistemul de ecuații liniare este compatibil cu ajutorul teoremei Kronecker-Capelli, mai degrabă decât folosind metoda Gauss. atunci când este necesar să se excludă în mod constant necunoscute. Această teoremă se bazează pe utilizarea rangului de matrice.
Teoria lui Kronecker-Capelli privind compatibilitatea sistemului Un sistem de ecuații algebrice liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei acestui sistem este egal cu rangul matricei sale extinse, adică lui.
Aici matricea A (matricea sistemului) este o matrice compusă din coeficienți pentru necunoscuți:
La rândul său, matricea B (matricea extinsă) este matricea obținută prin aderarea la matricea sistemului a unei coloane de termeni liberi:
Rangul acestor matrici este legat de o inegalitate, iar rangul matricei B poate fi doar unul mai mult decât rangul matricei A.
Corolarul teoremei Kronecker-Capelli privind numărul de soluții. Să presupunem, pentru un sistem de m ecuații liniare în stare n necunoscute de compatibilitate, adică rangul matricei coeficienților sistemului este egal cu gradul de matricea sa augmented. Apoi următoarele sunt adevărate.
- Dacă rangul matricei este egal cu numărul de necunoscute (), atunci sistemul are o soluție unică.
- În cazul în care gradul de sistem este mai mic decât numărul de necunoscute (), sistemul are infinit mai multe soluții, și anume unele n - r necunoscut poate fi dat nici o valoare, în timp ce restul r necunoscutele deja determinat într-un mod unic.
Dacă rangul matricei unui sistem de ecuații liniare este egal cu numărul de ecuații, adică sistemul este consecvent pentru orice termen liber. În acest caz, rangul matricei expandate este, de asemenea, egal cu m. deoarece rangul matricei nu poate fi mai mare decât numărul liniilor sale.
În cursul demonstrației teoremei Kronecker-Capelli, s-au obținut formule explicite pentru soluțiile sistemului (în cazul compatibilității acestuia). Dacă se știe deja că sistemul este compatibil, atunci pentru a-și găsi soluțiile, este necesar:
1) să găsească în matricea unui sistem A de rang un minore nonzero de ordin egal cu rangul matricei sistemului, adică de rang r;
2) aruncați acele ecuații care corespund rândurilor matricei A. nu în minor;
3) termenii cu coeficienții, non, trece la partea dreapta, apoi, dând de necunoscut, în partea dreaptă, valori arbitrare determinate de regula lui Cramer a ramas necunoscut r r din sistemul de ecuații cu un determinant nenul.
Exemplul 1. Urmând teorema Kronecker-Capelli, pentru a stabili dacă sistemul de ecuații
Dacă sistemul este compatibil, rezolvați-l.
Soluția. Calculăm rangul matricei acestui sistem și rangul matricei extinse. În ambele cazuri este egal cu 3. În consecință, sistemul de ecuații liniare este consecvent. Deoarece rangul matricei sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute, sistemul are infinit mai multe soluții: un necunoscut poate fi luat în mod arbitrar. minor
este diferit de zero, astfel încât ultima ecuație este aruncată și îi atribuim o valoare arbitrară necunoscutului.
Cele necunoscute rămase sunt determinate din sistem
Rezolvând ultimul sistem prin formulele lui Cramer sau altfel, găsim
Se alătură aici, obținem toate soluțiile acestui sistem de ecuații liniare.
Exemplul 2. Urmând teorema lui Kronecker-Capelli, pentru a stabili dacă sistemul de ecuații
Dacă sistemul este compatibil, rezolvați-l.
Soluția. Calculăm rangul matricei acestui sistem:
În consecință, rangul sistemului este 3. Definiți rangul matricei extinse:
Aceasta înseamnă că rangul matricei augmentată este de asemenea egală cu 3. Prin urmare, sistemul este consecvent, precum și numărul de necunoscute este egal cu gradul sistemului de matrice, are o soluție unică. Pentru soluție, putem folosi primele trei ecuații:
Rezolvând ultimul sistem prin formulele lui Cramer, găsim
Trimiteți-le prietenilor: