Sfat 1
Soluția și răspunsul depind de modul de înțelegere a stării.
Varianta înțelegerii 1. De fiecare dată când o figură plată este doar pliată de-a lungul unei linii drepte, ca în Fig. 1. Dovedeste ca, cu astfel de operatiuni, perimetrul nu poate creste.
Fig. 1. O pliere simplă: de fiecare dată când figura existentă este pliată de-a lungul unei linii drepte
Varianta înțelegerii 2. Puteți adăuga orice, atâta timp cât rezultatul este o figură plată - ca în Fig. 2. Apropo, înțelegeți de ce figura din Fig. 2 nu pot fi îndoite de crestături succesive, care pot fi utilizate în prima variantă. Cu această înțelegere a sarcinii de pliere a unei foi într-o figură cu un perimetru mai mare, puteți, deși pare incredibil (aici, fanii origami au un avantaj).
Fig. 2. Îndoire complexă
Sfat 2
Acest indiciu se referă la a doua variantă a înțelegerii stării. Dă aici un indiciu despre cum să pui o foaie într-o figură cu un perimetru mai mare decât foaia originală de hârtie.
Să începem cu o foaie de hârtie pătrată. Să adunăm ceea ce origami este numit forma de bază a "Bird" (Figura 3). Aceasta este baza pentru modelul clasic japonez origami - o macara de hartie. Nu facem macarale, cu toate acestea, nu vom avea suficiente informații pe Internet pentru cei care vor să învețe acest lucru. Pașii necesari pentru asamblarea modelului din Fig. 3, sunt descrise într-un fișier separat.
Fig. 3. Forma de bază "Bird"
Fiți atenți la proprietățile importante ale rezultate „lucruri“: ea are o „rotire“ și patru „proces“ destul de lung (dintre aceste procese au apelat la cele două aripi, capul și coada macaralei, dacă vom continua să se angajeze în origami, în loc de a rezolva problema) . Dacă întindeți aceste procese în toate direcțiile, atunci doriți să obțineți un model cu un perimetru mai mare. Cu toate acestea, există o problemă: procesele atunci când încercați să le îndoiți în afară prea mult se suprapun, și ca rezultat cifrele obținute perimetru în mod substanțial mai mică decât ne-am dori.
În primul rând, vom înțelege cu formula în care puteți adăuga ceva.
Acest fișier arată cum se pot modifica procesele macaralei (de la Sugestie 2) astfel încât acestea să nu piardă în lungime, ci să devină mai restrânse. Această procedură nu este foarte simplă și s-ar putea să nu funcționeze imediat dacă nu ați avut anterior experiența de pliere a hârtiei. Cu toate acestea, încercați.
Fig. 4. Figura "subțire", a cărei perimetru după zdrobire va fi mai mare decât perimetrul pătratului original
Lăsați o parte a pătratului original (Figura 4). Vom colecta o figură cu procese foarte subțiri, apoi după îndoire, nu vor pierde mult în lungime din cauza suprapunerii. Fiecare dintre lăstari contribuie la perimetrul final de aproximativ a / 2 din fiecare din cele două părți ale acestuia (a se vedea figura 4). Și acest număr este mai apropiat de a / 2, cu cât sunt mai mici subțiri. În limită, obținem exact unul din fiecare proces. Dar chiar și în perimetru contribuie ceea ce a fost "spatele" macaralei. Astfel, perimetrul figurii rezultate poate fi făcut arbitrar aproape de un anumit număr, care este exact mai mare decât 4a. Asta este!
Deși acest lucru nu este important pentru soluție, este posibil să se calculeze contribuția "spatelui". Pe fiecare parte, "spatele" contribuie cu R. Se calculează această valoare prin examinarea matricei modelului. Figura arată zonele de hârtie din care se obțin procesele și spatele. Cercul central lasă pe spate; are o rază. Aceasta este lungimea uneia dintre laturile spătarului în modelul final.
Acum vom dovedi, din motive de exhaustivitate, că folosindu-se doar pliuri simple, nu se poate crește perimetrul. Adică vom analiza prima variantă de înțelegere a textului problemei. Arătăm că doar plierea unui poligon de hârtie de-a lungul unei linii drepte nu poate crește perimetrul unei figuri de hârtie. Unele "trifle" tehnice vor fi ratate pentru a verifica vigilenta cititorului.
Fig. 5. După o pliere simplă, perimetrul nu poate crește
Să ne uităm la Figura 5. Înaintea plierii perimetrului - este suma a două cantități: lungimea liniei rupte A și maro portocaliu lungime pantă B. După pliere obținem două suprapun parțial poligon X și Y. C. Tuck are o privire lungă la acea parte a limitei de poligon X și Y , care nu se află pe pliu (în Figura 5 - imaginea din stânga jos). Lungimea totală a acestor frontiere este A + B. Fie D - lungimea acelei părți a asociației de delimitare X ∪ Y, care nu trece prin cutelor și E - lungimea porțiunii care traversează granița X ∩ Y, care nu trece pe cutelor. Apoi D + E = A + B.
Să arătăm că E> C. Într-adevăr, intersecția X ∩ Y este un poligon, deci limita sa este o linie poligonală închisă sau o colecție de linii poligonale închise. Prin urmare, există o cale de la punctul u la punctul v. trecând de-a lungul conturului albastru. Lungimea acestei căi nu este mai mică decât distanța de la u la v de-a lungul unei linii drepte, adică C. Prin urmare, lungimea E a întregului contur albastru nu este mai mică decât C.
Rămâne de remarcat faptul că perimetrul figurinei obținute după pliere este C + D. În conformitate cu paragraful anterior, acest număr nu depășește E + D. Dar E + D = A + B. Acesta este perimetrul poligonului original.
postfață
În mod surprinzător, se pare că perimetrul figurii pliate nu poate fi făcut decât pur și simplu decât perimetrul foii originale. Puteți face cât de mare doriți. Ideea acestei construcții este de a repeta construcția "macaralei fine" descrisă mai sus, de mai multe ori de-a lungul întregii foi de hârtie, orizontal și vertical. Acesta este exact modul în care ursul de mare al lui Lang se dovedește. Acest lucru face posibilă obținerea în mod arbitrar a multor procese subțiri. Trebuie doar să ne asigurăm că lungimea totală a proceselor poate fi făcută arbitrar de mare.
În construcțiile lui Lang însă au existat câteva puncte care nu erau clare din punct de vedere matematic. Lucrul este că hârtia, așa cum o înțelege Origami, diferă de o hârtie matematică ideală în mai mulți parametri. Cea mai importantă diferență este că modelele origami uneori întinde sau comprimă hârtie puțin și acest lucru este interzis pentru hârtia matematică. Matematicianul nu crede în existența unei figuri perimetru mai mare, chiar dacă este să-l păstrați în mâinile tale: ce se întâmplă dacă a fost făcută operațiunea ilegală în timpul asamblării sale? Cu toate acestea, o altă diferență de hârtie prezentă pe matematică, mai degrabă joacă în mâinile matematicieni: hârtia perfectă nu are nici o grosime și, prin urmare, poate impune orice număr de straturi de hârtie una peste alta, și îndoirea rezultat „sandwich“ fără să se teamă că se va rupe sau ruffle. Doar pentru a face acest lucru este necesar în mod exclusiv în minte. Dacă încercați să faceți procese foarte subțiri, ca în Fig. 4, nu fi surprinsi daca devin scabosi si urâti.
dovada Matematic riguroase că perimetrul poate fi făcută în mod arbitrar (precum și o formulare riguroasă a problemei), a fost propus de Alexey Tarasov articolul soluție a problemei lui Arnold pe „rubla mototolită.“ Nu știa nici despre macara, nici despre urchinul mării, ci a inventat designul original, care mai târziu a fost numit "pieptenele lui Tarasov".
Ideea dovezii, folosind macaraua, am luat dintr-un articol ușor de înțeles și extrem de clar de A. Petrunin. Acolo puteți găsi detalii aici argumentele date, o prezentare istorică detaliată, precum și abordarea altor „geometrie de hârtie“ interesantă provocare: dacă este posibil să se plieze o foaie de hârtie, astfel încât perimetrul trandafirului, iar rezultatul a fost un poligon convex?
De asemenea, vă sfătuiesc să vizitați site-ul "Etudes matematică", unde sarcina noastră a fost analizată în detaliu. Există multe imagini, inclusiv ilustrații ale construcției pieptenului Tarasova.
Încă aici sunt probleme nerezolvate. De exemplu, este încă necunoscut (din câte știu) dacă este posibilă creșterea perimetrului, făcând doar pliuri "semisimple", așa cum se arată în Fig. 6: nu se îndoaie de-a lungul întregii linii drepte, ci numai de-a lungul unui segment.
Fig. 6. Semi-simplu ori
Trimiteți-le prietenilor: