Luați în considerare ecuația valurilor
și căutăm soluția sa satisfăcând condițiile inițiale
Presupunem că este continuă, împreună cu derivatele sale, până la a treia ordine, și a celei de-a doua ordine inclusiv în întreg spațiul. Mai întâi arată că integrala
luată pe suprafața unei sfere de rază cu centrul la un punct, este soluția ecuației valurilor (1); aici este o funcție arbitrară.
Rețineți că coordonatele punctelor sferei pot fi exprimate prin formule:
unde sunt direcțiile cosinilor razele sferei Putem scrie în forma:
unde unghiul variază de la de la unghiul atunci când punctul descrie punctul descrie sfera sfera de rază egală cu una, centrată la origine, iar zona dintre elementele respective ale ambelor sfere
Apoi integrala (3) se reduce la forma
Prin urmare, este ușor de observat că funcția are derivați continuu până la comandă dacă funcția este continuă împreună cu derivatele sale până la comandă. Din formula (4) găsim
sau, revenind la regiunea inițială de integrare
Diferențiind acum expresia (4), obținem
Pentru a calcula, vom rescrie (6) în formular
și, aplicând formula lui Ostrogradski, obținem
unde este o sferă de rază cu centrul la un punct. credincios
Diferențierea acestei expresii de la
Este ușor de văzut asta
De fapt, trecem în coordonatele sferice integrale cu centrul într-un punct, avem
Diferențiat în ceea ce privește
ecuațiile Compararea (5), (7) și (8), observăm că funcția definită prin formula (3) satisface ecuația de undă (1), indiferent de funcția are prima și a doua instrumente derivate continue. Rezultă direct din (4) și (6) că funcția u satisface condițiile inițiale
Dacă u este o soluție a ecuației de undă (1) cu datele inițiale (9), atunci este ușor să vedem că funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (1), satisfăcând condițiile inițiale
Luând acum condițiile inițiale în cazul (9) pentru caracteristica în cazul condițiilor inițiale și pliate funcția de soluții, astfel construit, se obține soluția ecuației (1) satisface condițiile inițiale (2).
Astfel, soluția ecuației valurilor (1), care satisface condițiile inițiale (2), poate fi scrisă în formă
Această formulă se numește formula Poisson.
Pentru a prezenta mai clar modelul fizic de propagare a undei în spațiul tridimensional este descris de formula Poisson (11), presupunem că perturbația inițială este concentrată într-o regiune limitată, cu limita de 5 m. E. Că funcțiile sunt zero în afara regiunii Fie punctul este în afara scopului denota respectiv distanțele minime și maxime de la punctele de pe suprafața sferei se află în afara Când ambele funcții sunt zero asupra sferei și cu formula (11) au un t. e. perturbațiile inițiale nu au ajuns încă la punctul în timp sferei atinge n overhnosti și partea frontală front de undă trece prin punctul de la punctele de timp, în timp sferă va traversa regiunea și formula (11) se va sfârșit, în sfera va avea puncte comune cu suprafața (întreaga zonă se va afla într-o sferă și cu Formula (11), avem t. e. perturbațiile inițiale au trecut deja prin punctul de timp corespunde trecerii marginii posterioare a frontului de undă prin punctul frontului de undă, la un moment dat este o suprafață de separare puncte care încă nu au început să oscileze, de la punctele care trebuie să le leblyutsya. Din cele de mai sus rezultă că toate punctele de această suprafață sunt cea mai mică distanță de frontul de undă frontal egal este înfășurătoarea familiei de sfere având la suprafață și raza centrelor wavefront din spate, la un punct predeterminat este o suprafață de puncte care încă fluctuează din punctele de separare care a încetat oscilația. Constanta a este viteza de propagare a frontului undei.
Astfel, perturbația inițială localizată în spațiu determină o acțiune localizată în timp în fiecare punct al spațiului; În acest caz, valul se propagă cu fronturile din față și din spate ale valurilor (principiul Huygens).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: