Semnificația cuvântului "Nomografie"
Nomografia (din limba greacă n ó mos este legea și. grafică), o ramură a matematicii care combină teoria cu metodele practice de construire a nomogramelor - desene speciale care sunt imagini ale dependențelor funcționale. Particularitatea nomogramelor este aceea că fiecare desen descrie o anumită zonă de variație a variabilelor și fiecare dintre valorile variabilelor din această zonă este reprezentată pe nomogram de un anumit element geometric (punct sau linie); imaginile valorii variabilelor asociate cu dependența funcțională se regăsesc pe nomogramele dintr-o anumită corespondență comună pentru nomogramele de același tip.
În Fig. 1 este un exemplu de nomogramă pentru calculul y - unghiului de fixare a tăietorului pe ascuțitor cu valorile date ale unghiurilor de tăiere a și j. Relația dintre aceste cantități este determinată de formula:
Nomograma constă din trei scale: unghiuri de scalare și y din scara unghiurilor a și o scală de unghiuri j. Punctele fiecărei scale sunt imagini ale valorii variabilei corespunzătoare. Nomograma este construită astfel încât trei puncte să reprezinte valorile unui y, respectiv. a și j. legat de această dependență, întotdeauna se află pe o linie. Aceasta implică imediat metoda de calcul din nomogram: pentru a calcula un y, este necesar să găsim puncte corespunzătoare valorilor date ale lui a și j pe scalele a și j. și prin ele să tragă o linie dreaptă. Această linie va trece pe scală un y prin punctul corespunzător valorii dorite a y. Pe nomogram, linia punctată conectează punctele de cântărire a și j cu valori a = 7,5 ° și j = 4 °; Nomograma dă răspunsul a y = 62 °.
Nomogramele și clasificarea acestora. Nomogramele se disting în funcție de metoda de reprezentare a variabilelor și de metoda de specificare a corespondenței dintre imaginile variabilelor.
Imagini ale variabilelor. Valorile variabilelor sunt reprezentate pe nomograme fie de puncte, fie de linii. Valoarea variabilei atribuite unui punct (linie) este numită marcajul unui punct (linie), iar punctul (linia) se numește un punct marcat (linie). Zona de variație a unei variabile este reprezentată pe o nomogramă sau printr-un set de puncte etichetate, numită o scară variabilă sau o familie de linii marcate cu un parametru. Pentru a găsi puncte pe marcajele lor și pentru a marca valorile la anumite puncte, cântarele sunt clasificate printr-un sistem de curse care indică punctele individuale ale scalei. Unele lovituri inscripționează valorile punctelor. Corespondența dintre punctele scalei, nu punctata și note, stabilite prin interpolare liniară, care se realizează pe nomograma pe ochi. În familia de linii se efectuează numai linii unice, restul fiind găsite prin interpolare. Când reprezintă valorile variabilelor cu puncte, împreună cu scalele, câmpurile binare sunt utilizate în nomograme. un câmp de imagine binară este câmpul se schimbă două variabile și este format din puncte, fiecare dintre acestea fiind atribuite unei perechi de numere - atribuit două etichetarea: etichetarea primei variabile și a doua marcă variabilă. Punctele câmpului binar completează domeniul bidimensional. În domeniul variabilelor binare u și v petrec două familii de linii u = const și n = const, care permit datele pentru a găsi punctul marcat în domeniu și pe teren la însemnări (Figura 3 este -. Liniile verticale drepte și curbe, h j). În cazurile necesare, interpolarea liniară este de asemenea utilizată aici.
Clasificarea nomogramelor. Cele mai frecvente sunt următoarele nomograme: de la puncte aliniate, ochiuri și transparente; Pentru o ecuație cu două variabile se utilizează cântare duble.
Scara dublă este cel mai simplu tip de nomogramă. Pentru ecuația F (u.N) = 0, ea constă din scara combinată a variabilelor u și n. Cântarele sunt construite astfel încât punctele lor, ale căror semne să corespundă ecuației, să coincidă. În Fig. 2 oferă un exemplu de scală dublă pentru calculul logaritmilor: u = lg n.
Nomograma din punctele egalizate ale ecuației F (u. N. W) = 0 constă din trei scale de variabile u. n și w. reprezentând respectiv intervalul de variație al acestor variabile. nomogramele Scale sunt construite astfel încât trei puncte marca care satisfac minciuna ecuație pe o linie (de unde și numele nomogramei, un exemplu de aliniere punctelor nomograma este prezentată în figura 1.). Nomograma de puncte aliniate cu ecuația binară câmp F (u. N. W. T) = 0 cu patru variabile este format din solzi și variabile u n și a variabilelor de câmp binar w și t. Scale și câmp nomograme sunt construite în așa fel încât cele două puncte cu mărci u și n pe cântar și câmpurile marcate cu un punct dublu (w. T) se află pe o linie, în cazul în care valorile variabilelor u. n. w și t satisfac ecuația.
O nomogramă cu două scale și un câmp binar este prezentată în Fig. 3. servește pentru a calcula suprafața S a unui trapez echilateral de-a lungul lungimii b a bazei sale mai mici, înălțimea h și unghiul j între baza mare și latura laterală:
Nomograma constă în scara S. a scalei b și câmpul (j.H). Pentru a găsi S, este necesar să găsim un punct în câmp de la datele h și j, de la b-punctul dat pe scară și să trasăm o linie dreaptă prin aceste puncte. Marcarea punctului de intersecție a liniei cu scara S dă răspunsul. Figura prezintă un exemplu de linie punctată atunci când h = 8, j = 60 ° și b = 8; răspuns: S = 100.
O nomogramă a punctelor aliniate poate conține două și trei câmpuri binare, adică prin aplicarea unui conducător la o soluție a ecuației cu cinci și șase variabile.
O nomogramă netă a ecuației F (u. N. W) = 0 cu trei variabile u. n și w constă din trei familii de linii etichetate, reprezentând respectiv regiuni de variație a acestor variabile. Liniile familiale sunt construite astfel încât fiecare trei linii ale căror etichete satisfac ecuația se intersectează într-un punct. În Fig. 4 este prezentat un exemplu de nomogram net pentru determinarea puterii reactive necesare k la 1 kW de sarcină electrică. instalații pentru mărirea lui cos j de la cos j 1 la cos j 2
Este alcătuită dintr-o familie de linii etichetate de valorile familiilor cos j 1. existente ale liniilor etichetate cu valorile lui k. și o familie de curbe marcate cu valorile cosului cos 2. Pentru a calcula valoarea lui k din datele cos j 1 și cos j 2, este necesar să găsim liniile corespunzătoare și punctul de intersecție a lor pe nomogramă. Marcarea unei linii de familie k. trecând prin acest punct, vom da răspunsul [deci, pentru cos j 1 = 0,8, cos j 2 = 0,95 ("lagging") găsim k = 0,4].
sarcină suplimentară poate fi setată în construirea graficele de intersecție: găsi o transformare în care toate cele trei familii nomogramei linii aplică la familia de linii drepte, care simplifică urmărirea acestuia. O astfel de problemă se numește anamorfoză și este echivalentă cu problema construirii nomograma pentru ecuația a punctelor de aliniere, deoarece conversia de o nomogramă corelativă a liniilor de plasă pot fi traduse în nomogramei de puncte aliniate cu trei scale. Pentru a construi nomografii net din linii drepte, așa-numitele. plase funcționale. O rețea funcțională este un sistem de linii de coordonate (u.N) (adesea realizate într-un mod tipografic) având ecuații în coordonate carteziene:
Cele mai simple rețele funcționale sunt hârtia logaritmică și semilogaritmică (a se vedea hârtia logaritmică). Există, de asemenea: o rețea pe care segmente de sinusoid sunt reprezentate ca linii drepte; grilă pentru imaginea normei normale de distribuție a probabilității printr-o linie dreaptă (a se vedea hârtia Probability), etc. Grilele funcționale sunt de asemenea utilizate atunci când se construesc nomograme de plasă, atunci când liniile celei de-a treia familii sunt curbe, dar ele arată mai ușor sau mai clar pe plasă decât în sistemul de coordonate cartezian.
Transparantnaya nomogramă, în cazul cel mai simplu este format din două planuri - planul principal și transparență cu imagini de pe aceste variabile în formă de solzi, câmpuri binare sau familii de linii etichetate; Planul principal și bannerul pot conține și linii și puncte neetichetate ("mute"). Nomograma este construit astfel încât elementele de etichetat valori care satisfac ecuația, precum și elemente nomograma „prost“ la aplicarea transparenței pe planul principal în secvență trebuie să facă contact. Un contact de două elemente se numește unul dintre celelalte (punctul se află pe linie, linia atinge linia etc.). Pentru punerea în practică a contactelor necesare în cazurile necesare, transparența se face dintr-un material transparent.
În Fig. 5 prezintă o nomogramă transparentă pentru calculul temperaturii t a unui amestec de două lichide cu aceeași capacitate de căldură cu formula:
unde m1 este masa cu temperatura t1. m2 - masa cu temperatura t2. Nomograma constă dintr-o familie de linii drepte paralele pe planul principal al nomogramei și o scală pe un banner format sub forma unui conducător. Liniile au marcajul m1 - în partea stângă a liniei mediane, cu nota 0 (în figura 5 este selectată) și marcajele m2 - în partea dreaptă a liniei de mijloc. Scara bannerului este simultan o scară a variabilelor t1. t2 și t. Pentru a calcula nomograma, plasați un banner pe planul principal, astfel încât punctele corespunzătoare datelor m1 și m2. sa dovedit a fi pe liniile care corespund datelor din t2 si t1. adică se face un contact între punctul t2 și linia m1 și între punctul t1 și linia dreaptă t2. Răspunsul este acela de a marca punctul de intersecție al scalei t cu o linie marcată 0. În acest caz, această linie joacă rolul unui element "mut" al nomogramei care intră în contact cu punctul scalei de răspuns. În Fig. 5 un exemplu este rezolvat când m1 = 8 kg, t1 = 52 °, m2 = 10 kg, t2 = 16 °; răspunsul este: t = 32 °.
Un exemplu de nomogram transparent, a cărui banner a fost livrat doar. mișcare, este un conducător logaritmic.
Nomografe compuse. Pentru ecuațiile cu mai multe variabile, sunt utilizate nomogramele compozite reprezentând sistemul. Nomogramele conectate de scale sau familii de linii. De obicei, elementele de nomograme compozite sunt nomograme din punctele aliniate și nomogramele grilei.
Erori la calcularea nomogramelor. Calculul nomogramelor este însoțit de inexactități, care sunt o consecință a imposibilității (în procesul de calcul) de implementarea exactă a corespondenței necesare între elementele nomogramei.
Precizia calculului prin nomograme depinde în mod esențial de acuratețea operațiilor necesare. Atunci când se calculează din nomograme din punctele aliniate, trebuie utilizată o riglă transparentă cu o vedere longitudinală.
Posibilitatea de a reprezenta ecuațiile prin nomograme. Nomogramele sunt împărțite în exacte și aproximative.
O nomogramă a unei dependențe funcționale dat se numește exact dacă corespondența dintre imaginile variabilelor datorate tipului său (sub presupunerea implementării exacte) stabilește între variabile o dependență care coincide cu cea dată.
Condițiile impunerii exacte nomografice impun anumite limitări asupra formei ecuațiilor pentru care este posibilă construirea de nomograme.
Condițiile pe care ecuația trebuie să le îndeplinească pentru a-și putea construi nomograma sunt numite condițiile de capacitate nomografică. Când se construiește nomogramele, ecuația nomogramată este transformată într-una din așa-numitele. formele canonice pentru care ecuațiile de scale, câmpuri, familii de linii ale nomogramei corespunzătoare sunt cunoscute sub formă generală.
Atunci când se construiesc nomograme compozite, este necesar să se reprezinte ecuația dată cu mai multe variabile sub forma unui sistem de ecuații cu un număr mai mic de variabile - așa-numitele. separarea variabilelor (aceasta se realizează prin introducerea parametrilor auxiliari).
O nomogramă a unei dependențe funcționale dat se numește aproximativă dacă corespondența dintre elementele sale (presupunând implementarea exactă) determinată de tipul nomogramei stabilește între variabile o relație apropiată cu cea dată. Au fost create mai multe metode de construire a nomograme aproximative în tipul principal din punctele aliniate.
În Fig. 6 prezintă o nomogramă aproximativă a Legii Inteligente a Studenților de Distribuție a Probabilităților:
Eroarea în determinarea t datorită imaginii aproximative în regiunea dată a variației variabilelor a. k și t nu depășește ± 0,001.
Nomograme nominative sunt folosite atunci când nomogramele exacte sunt imposibile sau atunci când nomogramele exacte au o formă nereușită și dau o eroare mare în răspuns.
Istoric istoric. Afișările geometrice ale dependențelor între variabilele care elimină calculele au fost cunoscute de mult timp. Acestea includ construcții destul de complexe care conțin familii de linii și scale ca imagini ale variabilelor (găsite, de exemplu, în ceasurile solare și astrolabe). Dezvoltarea teoriei construcțiilor nomografice a început în secolul al XIX-lea. Prima a fost teoria construirii unor nomograme nete rectilinie (matematicianul francez LL K. Lalann, 1843). Bazele teoriei generale a construcțiilor nomografice au fost date de M. Okan în 1884-91; în lucrările sale se întâlnește întâi numele "N.". Primul din Rusia N. a început să se ocupe cu N. M. Gersevanov în 1906-08. Un merit deosebit în dezvoltarea teoriei lui N. și organizarea numirii calculelor inginerești aparține lui NA Glagolev, care a condus școala nomografică sovietică.
REFERINȚE: M. Pentkovskiy. (Nomograms), 2 ed. M. 1959; propria lui, Nomography, M. - L. 1949; Gersevanov NM Fundamente ale nomografilor, 2 ed. M. - L. 1932; Glagolev NA Fundamente teoretice ale nomografiei, ed. M. - L. 1936; este la fel. Cursuri nomografice, 2 ed. M. 1961; Nevsky BA O carte de referință despre nomografie, M. - L. 1951; Nomographic collection, M. 1951; D'Ocagne M. Trait é de nomographie, 2 é d. P. 1921; Soureau R. Nomographie ou trait é des abaques, t. 1-2, p. 1921.
M. V. Pentkovsky.
Fig. 2. Scala dublă pentru calculul logaritmului (u) al numărului (v).
Fig. 1. Nomogramă din punctele aliniate pentru calculul unui y.
Fig. 6. Nomograma aproximativă din punctele aliniate ale Legii Inteligente a Studenților de Distribuție a Probabilităților.
Fig. 5. nomogram transparent pentru determinarea temperaturii unui amestec de două lichide cu aceeași capacitate de căldură.
Fig. 4. O nomogramă netă pentru calculul puterii necesare pe kilowatt a sarcinii instalației electrice pentru trecerea de la cos j 1 la cos j 2.
Fig. 3. Nomogramă din punctele aliniate cu un câmp binar pentru a calcula suprafața (S) a trapezului unității.
Marea enciclopedie sovietică M. "Enciclopedia sovietică", 1969-1978
Citiți și în TSB:
Nomocanones Nomocanones (Grecia Nomokánones), colecțiile legii canonice (ecleziastice) bizantine, care includeau decrete imperiale (nómoi) în ceea ce privește biserica și dreptul bisericii.
Noneshvili Joseph Elizovich Noneshvili Joseph Elizovici (născut la 6.4.1918, satul Kardanakhi, acum cartierul Gurjaan al SSR georgian), poetul georgian sovietic. Membru al CPSU din 1945. A absolvit Facultatea de Filologie din Tbilisi.
Nonius Nonius, scară auxiliară, prin care se numără proporțiile diviziunilor scării principale a dispozitivului de măsurare. Prototipul modern al lui N. a fost propus de matematicianul francez P. Vernier, p.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: