Coordonate curvilinare ortogonale

1.12. Coordonate curvilinare ortogonale

Descrierea geometriei obiectelor în coordonate curbilinii este destul de complicată. În practică, în majoritatea cazurilor sunt utilizate coordonate ortogonale curbilinare. În sistemul de coordonate ortogonale, liniile de coordonate ale unei familii diferite sunt reciproc ortogonale. Vectorii bazei tangente sunt reciproc ortogonali, deoarece sunt tangențiali la liniile de coordonate corespunzătoare.







In coordonatele curbilinii ortogonale ale vectorilor tangente ale vectorilor de bază și baza reciprocă corespunzătoare aceeași direcție, dar lungimea lor este în general diferite; Componentele off-diagonale ale tensorului metric sunt zero: adică pentru

Unele dintre simbolurile lui Christoffel în sistemul de coordonate ortogonale curbilinii sunt zero și, prin urmare, multe formule sunt simplificate.

Sistem de coordonate cilindrice.

De exemplu, luați în considerare un sistem de coordonate cilindrice. Parametrii sistemului cilindric sunt raza polară a unghiului polar și axa verticală. Coordonatele cilindrice sunt legate de coordonatele carteziene prin egalitatea

Relațiile inverse au forma

Matricea Jacobi a tranziției de la un sistem de coordonate dreptunghiulare carteziană la un sistem de coordonate cilindrice este egală cu:

Componentele tensorului metric în noul sistem de coordonate sunt determinate de formula







unde sunt simbolurile Kronecker (1.10.7). Sistemul de coordonate cilindrice este ortogonal, componentele tensorului metric și simbolurile Christoffel nonzero în el sunt egale

După cum se poate observa în coordonate cilindrice, prima și a treia lungimi ale vectorilor tangente sunt egale cu o bază, iar a doua lungime vectorul corespunzător unghiului polar este.

Funcțiile Vector într-un sistem de coordonate cilindrice vor fi exprimate folosind vectorii bazelor tangente și reciproce după cum urmează:

Derivații parțiali ai vectorilor bazei tangente (1.10.14) de-a lungul coordonatelor cilindrice sunt egali cu

Derivații parțiali ai vectorilor bazei reciproce (1.10.25) de-a lungul coordonatelor cilindrice sunt egali cu

Vedem că unii vectori ai bazelor tangente și reciproce ale unui sistem cilindric de coordonate se schimbă în timpul tranziției de la un punct al spațiului la altul. Toate acestea, în cazul general, complică descrierea obiectelor geometrice, dar în unele cazuri este justificată utilizarea sistemelor curbilinii. Formula (1.10.21) pentru derivatul unei funcții vectoriale într-un sistem de coordonate cilindrice are forma

Un exemplu de curbă.

Luați în considerare o funcție de vector care descrie o singură bobină dintr-o spirală cilindrică într-un sistem de coordonate cilindrice. Fie ca axa spiralei să fie paralelă și să treacă prin origine, raza ei este egală, iar pasul este egal cu h. Să descriem helixul ca o funcție a coordonatelor:

Tangenta helixului în conformitate cu (1.10.20) este descrisă de funcția vectorială

Derivatul funcției vectoriale a helixului în conformitate cu formula (1.12.3) este

În fiecare punct al spiralei se îndreaptă spre axa sa și are o lungime.

În continuare construirea curbelor si suprafetelor, vom folosi un sistem de coordonate cartezian rectangular, ca cel mai convenabil pentru calculul derivatelor funcțiilor vectoriale în spațiul Euclidian. Vom folosi indiciile de aici, deoarece în sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziene componentele covariante și contravariate sunt egale.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: