O funcție reală definită pe un anumit interval (în cazul general, pe un subset convex al unui spațiu vectorial) este convexă dacă pentru oricare două valori ale argumentului x. y și pentru orice număr t ∈ [0. 1] inegalitatea Jensen deține:
Dacă această inegalitate este strictă pentru toate t ∈ (0. 1) și x ≠ y. atunci funcția se spune că este strict convexă; dacă inegalitatea contrară, funcția este numită concavă. sau convex în sus.
- Funcția f. convex pe intervalul t>. este continuă pe întregul I>. este diferențiată pe ansamblul I, cu excepția cel mult unui număr de puncte care pot fi numărați și de două ori diferențiate aproape oriunde.
- Orice funcție convexă este subdiferențiată (are un subdiferențial) pe întregul domeniu al definiției.
- Într-o funcție convexă, prin orice punct, trece un hiperplane de susținere a epigrafului său.
- O funcție continuă f este convexă pe I> dacă și numai dacă pentru toate punctele de x. y ∈ I> inegalitatea f (x + y 2) ≤ f (x) + f (y) 2> \ dreapta) \ leq >>
- Funcția continuă diferențiabilă a unei variabile este convexă într-un interval dacă și numai dacă graficul său nu se află sub tangenta (suportul hiperplane) tras la acest grafic în orice punct al intervalului de convexitate.
- O funcție convexă a unei variabile din interval are un derivat stâng și drept; derivat stâng la punctul ≥ derivatului drept; derivatul unei funcții convexe este o funcție nedeterminată.
- O funcție de două ori diferențiată a unei variabile este convexă într-un interval dacă și numai dacă al doilea derivat al acesteia este ne-negativ la acest interval. Dacă funcția f (x) = x 4) este strict convexă la [-1,1], dar a doua sa derivată la punctul x = 0 este strict convexă, dar conversia nu este adevărată (de exemplu funcția f (x) zero).
- Dacă funcțiile f. g sunt convexe, atunci orice combinație liniară a f + b g cu coeficienți pozitivi a. b este de asemenea convex.
- Minima locală a unei funcții convexe este de asemenea un minim global (respectiv, pentru funcțiile convexe, maximul local este un maxim global).
- Orice punct staționar al unei funcții convexe este un extremum global.
- Pentru funcțiile convexe, inegalitatea Jensen deține:
f (E (X)) ≤ E (f (X)).
unde X este o variabilă aleatoare cu valori în domeniul definirii funcției f. E este așteptarea matematică.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: