Durata impactului.
Estimați momentul impactului elastic al solidelor, luând în considerare coliziunea unui incident de tija pe peretele nedeformabil fără sfârșit (Fig.).
Cel mai adesea în probleme se crede că impactul elastic al solidelor are loc instantaneu, dar este destul de evident că această presupunere este o idealizare.
Coliziunea corpurilor reale durează întotdeauna un interval de timp finit τ. De fapt, dacă schimbarea momentului corpului în timpul coliziunii a avut loc instantaneu,
F = mδv / t → 0 → ∞
atunci forța interacțiunii corpurilor la impact ar fi infinit de mare, ceea ce, firește, nu se întâmplă.
De ce depinde durata coliziunii? Să presupunem că luăm în considerare reflectarea unui corp elastic dintr-un perete nedeformat. Într-o coliziune, energia cinetică a corpului în prima jumătate a coliziunii este transformată într-o potențială energie de deformare elastică a corpului. În timpul celei de-a doua jumătăți, energia de deformare este transformată înapoi în energia cinetică a corpului viguros.
Prin urmare, este evident că proprietățile elastice ale corpului joacă un anumit rol în coliziune. Deci, ne putem aștepta ca durata impactului să depindă de modulul Young al materialului corpului E. Densitatea lui ρ și dimensiunile sale geometrice. Este posibil ca durata impactului τ să depindă de viteza v. cu care corpul lovește o barieră.
Nu este dificil să se verifice faptul că nu este posibilă estimarea timpului de coliziune exclusiv prin considerente dimensionale. Într-adevăr, chiar dacă luăm drept corp de coliziune o minge ale cărei dimensiuni sunt caracterizate de un singur parametru, raza R., apoi din cantitățile E. p. R și v pot fi alcătuite dintr-un număr infinit de expresii având dimensiunea timpului:
τ = √ x f (ρv 2 / E). (1)
unde f este o funcție arbitrară a cantității fără dimensiuni ρv 2 / E. Prin urmare, pentru a găsi τ, avem nevoie de o analiză dinamică.
Este mai simplu să efectuați o astfel de examinare pentru un corp care are forma unei tije lungi.
Lăsați bara să se deplaseze cu viteza v. zboară la capătul unui perete staționar. Când secțiunea de capăt a tijei atinge peretele de viteză al particulelor situate în această secțiune, barele dispărea instantaneu. În următorul moment de timp, particulele situate în secțiunea vecină se opresc etc. Secțiunea tijei a cărei particule s-au oprit la momentul dat este într-o stare deformată. Cu alte cuvinte, în acest moment, partea tijei care a atins valul de tensiune elastică propagând de-a lungul tijei de la punctul de contact cu bariera se dovedește a fi deformată. Această undă de propagare se propagă de-a lungul tijei cu viteza sunetului u. Dacă presupunem că tija a intrat în contact cu peretele în momentul t = 0. atunci în momentul de timp t lungimea părții comprimate a tijei este ut. Această parte a tijei din Fig. dar este umbrite.
În porțiunea neimpozată a tijei, vitezele tuturor particulelor sale sunt încă egale cu v. și în partea comprimată (umbrite) a tijei, toate particulele sunt în repaus.
Prima etapă a procesului de coliziune a tijei cu peretele se va termina în momentul în care întreaga tija este deformată și vitezele tuturor particulelor sale vor dispărea (Fig.
În acest moment, energia cinetică a tijei incident este transformată într-o potențială energie de deformare elastică. Imediat după aceasta, începe a doua etapă a coliziunii, în care tija revine la starea nedeformată. Acest proces începe la capătul liber al tijei și, răspândind-o de-a lungul tijei cu viteza sunetului, se apropie treptat de barieră. În Fig. în
Tijă este arătată în momentul în care partea neșurubată nu mai este deformată și toate particulele sale au o viteză v. direcționate spre stânga. Zona umbroasă este încă deformată, iar viteza tuturor particulelor sale este zero.
Sfârșitul celei de-a doua etape a coliziunii va veni într-un moment în care întreaga tijă este nedeformată și toate particulele tijei vor dobândi viteza v. direcționată în raport cu viteza tijei înainte de impact. În acest moment, capătul drept al tijei este separat de barieră: tija nedeformată se rotește de pe perete și se mișcă în direcția opusă cu viteza fostului modulo (fig. D).
Energia deformării elastice a tijei, în acest caz, revine în totalitate la energia cinetică.
Din cele de mai sus este clar că durata coliziunii τ este egală cu timpul de trecere a frontului undei de deformare elastică de-a lungul tijei înainte și înapoi:
τ = 2 l / u. (2)
unde l este lungimea tijei.
Determinați viteza sunetului în tija u poate fi după cum urmează. Luați în considerare tijă la momentul t (Figura a), când valul de tensiune se propagă spre stânga. În acel moment, lungimea părții deformate a tijei este ut. În ceea ce privește starea nedeformată, această parte a fost scurtată de valoarea vt. Echivalentă cu distanța parcursă până în acest moment de partea nedeformată a tijei. Prin urmare, deformarea relativă a acestei părți a tijei este v / u. Bazat pe legea lui Hooke
v / u = (1 / E) x F / S. (3)
unde S este aria secțiunii transversale a tijei, F este forța care acționează asupra tijei de pe partea peretelui, E este modulul lui Young.
Deoarece deformarea relativă v / u este aceeași în orice moment atâta timp cât tija intră în contact cu obstacolul, atunci, așa cum se poate vedea din formula (3), forța F este constantă. Pentru a găsi această forță, aplicăm legea de conservare a impulsului la partea oprită a tijei. Înainte de contactul cu bariera, partea tijei avute în vedere avea un impuls ρSut • v. iar la momentul t impulsul său este zero.
prin urmare
ρSut • v = Ft. (4)
Înlocuindu-l pe F în formula (3), obținem
u = √. (5)
Acum expresia pentru timpul τ. Deformarea coliziunii tijei cu peretele (2) ia forma
τ = 2l√. (6)
Timpul de coliziune τ poate fi găsit într-un alt mod, folosind legea conservării energiei pentru aceasta. Înainte de coliziune, tija este nedeformată și toată energia ei este energia cinetică a mișcării translaționale mv 2/2. După un timp τ / 2 de la începutul coliziunii, vitezele tuturor particulelor sale, așa cum am văzut, dispăreau, iar întreaga tijă afectează deformarea (Fig. Lungimea tijei a scăzut cu o valoare δl în comparație cu starea sa nedeformată (figura D).
În acel moment, întreaga energie a tijei este energia deformării sale elastice. Această energie poate fi scrisă sub formă
W = k (δl) 2/2.
unde k este coeficientul de proporționalitate între forță și deformare:
F = kδl.
Acest coeficient este exprimat în termenii modulului Young al lui Young și al dimensiunilor barei folosind legea lui Hooke:
σ = F / S = (δl / l) E.
F = SEδl / l și F = kδl.
de aici
k = ES / l. (7)
Deformarea maximă δl este egală cu distanța până la care particulele capătului stâng al tijei se deplasează în timpul timpului τ / 2 (Fig. Deoarece aceste particule s-au mutat cu viteza v.
δl = vτ / 2. (8)
Ecuați energia cinetică a tijei înainte de impact și energia potențială de deformare. Luând în considerare faptul că masa de tija
m = ρS1.
și folosind relațiile (7) și (8), obținem
ρSlv 2/2 = ES / (21) x (vτ / 2) 2.
de unde pentru t obtinem din nou formula (6).
Acest timp de coliziune este de obicei foarte scurt. De exemplu, pentru o tijă de oțel (E = 2 × 10 11 Pa, ρ = 7,8 × 10 3 kg / m 3) de 28 cm lungime, calculul conform formulei (6) dă τ = 10 -4 s.
Forța F care acționează asupra peretelui în timpul impactului poate fi găsită prin înlocuirea vitezei de sunet în tija (5) cu formula (4):
F = Sv√. (9)
Se poate observa că forța care acționează asupra peretelui este proporțională cu viteza tijei înainte de impact. Dar pentru aplicabilitatea soluției de mai sus, este necesar ca efortul mecanic al tijei F / S să nu depășească limita elastică a materialului din care este realizată tija. De exemplu, pentru oțel, limita elastică
(F / S) max = 4 × 10 8 Pa.
Prin urmare, viteza maximă v a tijei de oțel, la care coliziunea cu bariera poate fi încă considerată elastică, se dovedește a fi 10 m / s conform formulei (9). Aceasta corespunde vitezei de cădere liberă a corpului de la o înălțime de numai 5 m.
Pentru comparație, să subliniem că viteza sunetului în oțel este u = 5000 m / s. care este, v < Timpul de coliziune al tijei cu un obstacol fix (spre deosebire de forță) sa dovedit a fi independent de viteza tijei. Acest rezultat, totuși, nu este universal, ci este legat de forma specifică a corpului în cauză. De exemplu, pentru o minge elastică, timpul de coliziune cu peretele depinde de viteza sa. Analiza dinamică a acestui caz se dovedește a fi mai complicată. Acest lucru se datorează faptului că zona de contact a mingii deformate cu peretele și forța care acționează asupra mingii în timpul coliziunii nu rămân constante.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: