Plecând de la definiția de mai sus a frecvențelor naturale și a modurilor de oscilații ale unui sistem cu un QFSS, se pot identifica următoarele proprietăți de bază [1,3,4]:
1. Numarul de frecvente naturale si moduri de oscilatii. Un sistem cu n grade de libertate are n eigenfrequencies real pozitive pi. Se presupune că acestea sunt diferite și sunt numerotate în ordine ascendentă
Fiecare eigenfrequency pi corespunde unui mod real de oscilații. care reprezintă raportul dintre amplitudinile oscilațiilor principale:
Numărul de forme adecvate este egal cu numărul de grade de libertate n. Frecvențele naturale și modurile de oscilație ale sistemului nu depind de condițiile inițiale, ci depind numai de proprietățile de distribuție a masei și de rigiditate ale sistemului.
2. Ortogonalitatea formelor potrivite. Prin definiție, cei doi vectori sunt ortogonali în raport cu matricea simetrică A. dacă există următoarea relație
Să luăm în considerare două forme de oscilații corecte. corespunzătoare frecvențelor e-a și a celei de-a patra, și. Forma oscilațiilor este determinată de ecuația modurilor de vibrație (3.2.6), care pot fi reprezentate în formă
În cazul simetriei matricelor C și M, se aplică următoarele relații:
Înlocuind (3.3.4) în partea stângă și pe partea dreaptă a (3.3.5), obținem
În expresia obținută, factorii constanți ps2 și pr2 pot fi derivați din produse matriceale
Rezultă din (3.3.6) că în formula (3.3.8) expresiile din paranteze sunt egale și, prin urmare, sunt egale
Deoarece prin ipoteză. atunci expresia (3.3.9) implică condiția de ortogonalitate pentru vectorii proprii față de matricea de masă M:
Pentru a demonstra condiția ortogonalității formelor de proprietate în raport cu matricea de rigiditate C, vom folosi relația (3.3.4), care poate fi reprezentată după cum urmează:
Înlocuind (3.3.11) în (3.3.10), obținem
Deoarece. urmărește condiția de ortogonalitate a propriilor forme în raport cu matricea de rigiditate
Condiția ortogonalității (3.3.10) și (3.3.13) poate fi reprezentată în forma scalară, respectiv:
Formulele obținute presupun că.
3. Noduri de forme corecte. De la conditii de ortogonalitate moduri proprii (3.3.14), (3.3.15) și pozitivitatea coeficienți de masă și matrici de rigiditate implică faptul că LIR LKS amplitudine și formează principalele vibrațiile care corespund diferitelor frecvențe naturale și ps pr. nu poate fi același semn. Există o regularitate în distribuția de numărul de modificări semn de amplitudinile de moduri proprii [1]. Ideea care rămâne fixă în timpul vibrației oricărei forme de proprietate, numit un nod al acestui formular. Modelul de distribuție a nodurilor set de noduri moduri proprii forme naturale Teorema corespunzătoare: numărul de modificări semn (numărul de noduri) la r th formă proprie egală pentru toți r -1. De exemplu, toate amplitudinile li1 pentru p1 sunt non-zero și au aceleași semne.
3.4 Rezolvarea problemei oscilațiilor libere
Pentru a rezolva problema oscilațiilor libere ale sistemelor mecanice cu un număr finit de grade de libertate, este necesar să se rezolve ecuația diferențială liniară (2.3.1) sau (2.3.2). Considerăm cazul în care toate rădăcinile pi ale ecuației de frecvență (3.2.6) sunt diferite. Așa cum sa arătat în secțiunea 3.2, pentru fiecare eigenfrequency pi corespunde o soluție particulară a ecuației de oscilație liberă (2.3.2), care are forma:
Vectorul de amplitudine din această expresie reprezintă modul i-al oscilației, care este determinat din ecuația modurilor de vibrație (3.2.2).
Deoarece sistemul inițial al ecuațiilor diferențiale (2.3.2) este liniar, soluția sa generală poate fi reprezentată ca o combinație liniară de soluții particulare (3.4.1):
În această expresie, Ci și ji sunt constante arbitrare care sunt determinate din condițiile inițiale
sau sub formă de matrice
Înlocuind (3.4.2) în condițiile inițiale (3.4.4), găsim
Se poate demonstra că vectorul. sunt independente liniar, prin urmare, din sistem (3.4.5) determină în mod unic constantele arbitrare
Atunci când se rezolvă problemele specifice ale oscilațiilor libere ale sistemelor mecanice, este mai convenabil să se reprezinte soluția generală (3.4.2) sub forma
Noile constante arbitrare Ai și Bi determină, de asemenea, din condițiile inițiale (3.4.4)
În forma scalară, poate fi reprezentat sistemul de ecuații algebrice liniare (3.4.7)
1. Care este diferența dintre coordonatele normale (principale) și coordonatele ordinare generalizate?
2. Care este sensul fizic de a aduce energia cinetică și potențială în forma canonică?
3. Definiți propriile forme de vibrații?
4. Să formuleze proprietățile de bază ale frecvențelor naturale și ale modurilor de oscilație?
5. Ce determină numărul de frecvențe naturale și modurile de oscilație ale sistemului mecanic?
4. Calculul și sarcina grafică
Oscilațiile sistemelor cu un număr finit de grade de libertate pot fi atribuite domeniului cel mai important și cel mai practic solicitat al teoriei oscilațiilor. Cea mai vizibilă parte a acestei direcții este vibrațiile longitudinale, torsionale și flexibile ale tijelor sau liniilor axului. Construcția unui sistem de rezolvare a ecuațiilor de vibrații pentru astfel de sisteme nu prezintă în prezent o problemă științifică serioasă. Cu toate acestea, sarcina de discretizare a sistemului real, continuu (de exemplu, shafting [7]) este departe de a fi evidentă. Prin urmare, calculul propus și sarcina grafică (RGZ) sunt destinate dobândirii competențelor de discretizare și de calcul al caracteristicilor de bază ale proceselor oscilatorii ale sistemelor de tije.
4.1. Obiectivele și sarcinile calculului și sarcina grafică
Scopul acestei misiuni este:
· Construirea unui model discret pentru trei tipuri de oscilații ale rotorului longitudinal, torsional și îndoit;
· Înregistrarea ecuațiilor de oscilații ale sistemelor discrete în formă directă și inversă;
· Construirea ecuațiilor modurilor de vibrație și a ecuațiilor de frecvență;
· Obținerea unei soluții sub formă de frecvențe și forme naturale;
· Normalizarea modurilor proprii prin matricea de masă;
· Construirea grafică a formelor proprii;
· Obținerea ecuațiilor de oscilații sub formă de expansiune în propriile lor forme;
· Construcția grafică a procesului oscilator.
Sarcina principală a acestui calcul și a sarcinii grafice este de a dobândi abilități practice de discretizare a sistemelor rotative și tije de construcție continuă în formă de piesă. Prin construcție continuă pe o bucată, se înțeleg rotoarele cu secțiune circulară cu o schimbare spasmodică a diametrului arborelui. Astfel de sisteme de arbori sunt utilizate pe scară largă în construcția turbinelor, construirea de motoare și construcția mașinilor-unelte. Prin urmare, acest RGZ nu este doar teoretic, ci și practic.
Componența WGE include trei sarcini, dintre care exemple sunt prezentate în paragrafele de mai jos. 4.2, 4.3 și 4.4. Variantele de sarcini sunt prezentate în § 4.5. Structura include, de asemenea, două RGZ lucrări de laborator pe PC prin calcularea parametrilor inițiali prin oscilații longitudinale - „ROD“ și flexural „ROTOR“ oscilații [10] în aceeași din arbori de realizare. Procedura de calcul pe PC este dată în § 4.6.
Un exemplu de modelare a oscilațiilor longitudinale ale unui rotor.
· Construirea și determinarea parametrilor (masă, rigiditate) pentru modelul axului cu oscilații longitudinale în funcție de varianta sarcinii;
· Obțineți ecuația oscilațiilor longitudinale printr-o metodă directă (vezi § 2.3);
· Determinați frecvențele și vibrațiile naturale (a se vedea § 3.2);
· Creați o reprezentare grafică a formularelor.
În Fig. 4.1a prezintă schița inițială a secțiunii axiale a rotorului, constând din patru secțiuni având următoarele dimensiuni: L1 = 0,5 m; L2 = 0,9 m; L3 = 1,5 m; L4 = 2,0 m; d1 = 0,2 m; d2 = 0,15 m; d3 = 0,12 m; d4 = 0,15 m. Caracteristicile fizice ale materialului sunt după cum urmează: modul de elasticitate E = 2,1 x 10 11 N / m 2. densitate r = 8 × 10 3 kg / m 3.
Construirea unui model discret. Este necesar să se construiască un model discret de două mase pentru modelarea procesului oscilator. Pentru aceasta, rotorul este împărțit în două secțiuni de lungime egală:
Figura 4.1 - Construcția modelului oscilațiilor longitudinale ale rotorului:
a - o schiță a secțiunii transversale a rotorului; b - model rotor discret
1. Determinarea masei. Așa cum se poate vedea din fig. 4.1, a, trei secțiuni ale unui rotor cu secțiune transversală constantă au intrat în prima secțiune Ly1, ale căror mase sunt calculate prin următoarele formule:
Masa primei secțiuni este definită ca suma masei componentelor sale componente:
A doua secțiune a lui Ly2 include două secțiuni ale rotorului cu secțiune constantă, ale căror mase sunt calculate prin următoarele formule:
Masa celei de-a doua secțiuni este definită ca suma masei componentelor sale componente:
2. Calcularea centrelor de masă. Centrul fiecărei mase trebuie să fie situat în centrul momentului său static de inerție. Deoarece secțiunile inițiale ale rotorului au un diametru constant, centrul lor al momentului static al inerției se află în centrul geometric al secțiunii.
Să găsim coordonatele centrelor de masă ale secțiunilor secțiunii constante care formează prima secțiune:
Condițiile pentru egalitatea momentelor de masă ale inerției pentru prima secțiune au forma
În mod similar, obținem coordonatele x2 ale celei de a doua masă:
Rezultatele calculului centrelor de masă sunt prezentate în figura 4.1, b.
3. Determinarea rigidității. În Fig. 4.1, b reprezintă cele două masă obținute și coordonatele lor. Aceste două mase rupe lungimea rotorului în trei secțiuni, fiecare având o rigiditate, notată de C1. C2, C3 și sunt reprezentate ca arcuri condiționate în Fig. 4.1, b.
Deoarece prima și a treia secțiune rigidă corespund secțiunilor structurale ale rotorului cu diametru constant, valorile rigidității sunt aceleași:
= 1,585 x 10 10 N / m.
= 8,339 x 10 9 N / m.
A doua secțiune rigidă corespunde celor patru secțiuni structurale ale rotorului, care sunt indicate în Fig. 4.1, b ca c2i (i = 1,2,3,4). Să determinăm valorile acestor rigidități:
= 7,89 x 10 10 N / m;
= 9,278 x 10 9 N / m;
= 3.958 x 109 N / m;
= 6,762 x 10 10 N / m.
Izvoarele c2i sunt conectate în serie, iar în acest caz se adaugă randamentele izvoarelor; conformitatea arcului C2 este definită ca
= 0,388 x 10 -9 m / h,
de unde este rigiditatea celui de-al doilea resort
Obținerea ecuațiilor pentru oscilații longitudinale libere. În Fig. 4.2 prezintă modelul discret obținut al rotorului cu grade de libertate qi (i = 0, 1, 2, 3). În total, acest model are patru grade de libertate, dintre care două sunt q1. q2 corespund masei m1. m2. și capetele rămase fără masă ale izvoarelor.
Figura 4.2 - Model rotor discret pentru oscilații longitudinale
Folosind metoda directă bazată pe principiul D'Alembert [6] (a se vedea. F. 2.3), selectați masa din sistem și înlocuind acțiunea arcurilor forțe elastice obține ecuația de echilibru în conformitate cu Formula (2.3.11). Ecuația de mișcare pentru două mase și coordonatele generalizate prezentate în Fig. 4.2, au forma:
Două ecuații de mișcare conțin patru necunoscute, astfel încât pentru a obține rezoluția sistemului de ecuații trebuie luate în considerare condițiile limită care pentru sistemul elastic de masă prezentat în Fig. 4.2, au forma:
În cele din urmă, obținem următorul sistem de ecuații diferențiale liniar cu privire la trei necunoscute q1. q2:
Determinarea frecvențelor și a formelor naturale. Căutăm soluția sistemului (4.2.1) în forma (3.2.1)
unde li este amplitudinea oscilațiilor; p este frecvența de oscilare naturală; j este unghiul de fază.
După înlocuirea (4.2.2) în (4.2.1), obținem ecuațiile modurilor de vibrație
Din ecuațiile (4.2.3) obținem matricele de masă și rigiditate:
Ecuația de frecvență are următoarea formă:
Din expresia (4.2.4) obținem o ecuație bivadrată în raport cu frecvența naturală p. care este prezentat în forma normală de mai jos:
Înlocuind valorile rigidității și masei în (4.2.5), obținem
Rezolvând ecuația biquadratică (4.2.6) și respingând valorile negative, obținem valorile eigenfrequencies:
p2 = 10010 p / s = 1594,0 Hz
După cum rezultă din ecuația formelor (4.2.3), modurile proprii ale oscilațiilor sunt determinate într-o constantă. Apoi, lăsați prima frecvență adecvată p1 să fie egală cu:
Acum, pentru a determina prima formă adecvată, este suficient să se utilizeze o ecuație a sistemului (4.2.3), înlocuind (4.2.7):
În mod similar, pentru a doua frecvență naturală p2 luăm:
Apoi, din ecuația (4.2.3), luând în considerare ecuația (4.2.8), obținem:
Ca rezultat, matricea formelor adecvate pentru rotor are forma
Articole similare
-
Raportul dintre masa corporală și frecvența naturală a purgatoriei (u)
-
Totul despre proprietățile utile ale șirului, întotdeauna în formă!
Trimiteți-le prietenilor: