O parabolă este locul punctelor, pentru fiecare dintre acestea distanța până la un anumit punct fix al planului numită focalizare este egală cu distanța către o anumită linie fixă numită directrix. Obiectivul parabolei este notat cu litera F, distanța de la focalizare la direcție este dată de litera p. Numărul p este denumit parabola.
Să fie dată o parabolă. Introducem sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziene astfel încât axa absciselor să treacă prin
accentul acestei parabole este perpendicular pe direcția directă și a fost direcționat de la regizor spre focalizare; originea este plasată în mijloc între foc și regizor (figura 19). În acest sistem de coordonate, această parabolă va fi determinată de ecuație
Ecuația (1) se numește ecuația canonică a unei parabole. În același sistem de coordonate, direcția directă a unei parabole date are o ecuație
Raza focală a unui punct arbitrar M (x; y) al unei parabole (adică lungimea segmentului FM) poate fi calculată din
O parabolă are o axă de simetrie, numită axa parabolului, cu care se intersectează la un singur punct. Punctul de intersecție al unei parabole cu o axă se numește vârful acesteia. Cu selecția de mai sus a sistemului de coordonate, axa parabolei coincide cu axa abscisă, vârful este la origine, întreaga parabolă se află în jumătatea dreaptă.
Dacă sistemul de coordonate este aleasă astfel încât axa x aliniată cu axa parabolei, originea - cu un vârf, dar parabolei se află în jumătatea stângă (fig. 20), atunci ecuația va avea forma
În cazul în care originea este la vârf și axa coordonatelor coincide cu axa, parabola va avea o ecuație
dacă se află în jumătatea superioară a planului (figura 21) și
- dacă în jumătatea inferioară a planului (Figura 22)
Fiecare dintre ecuațiile parabolei (2), (3), (4), cum ar fi ecuația (1), se numește canonică.
583. Scrieți ecuația unei parabole a cărei vârf este la origine, știind că:
1) parabola este localizată în jumătatea dreaptă simetric pe axa Ox, iar parametrul său p = 3;
2) parabola este localizată simetric în jumătatea de stânga a axei Ox, iar parametrul său P = 0,5;
3) parabola se află în jumătatea superioară a planului simetric în jurul axei Oy, iar parametrul său p = 1/4
4) parabola este localizată în jumătatea inferioară a planului simetric în jurul axei Oy, iar parametrul său p = 3.
584. Determinați valoarea parametrului și poziția relativă la axele de coordonate ale următoarelor parabole:
1) y2 = 6x; 2) x 2 = 5y; 3) pentru 2 = - 4x; 4) x 2 = -y.
585. Scrieți ecuația parabolei a cărei vârf este la origine, știind că:
1) parabola se află simetric în jurul axei Ox și trece prin punctul A (9; 6);
2) parabola se situează simetric pe axa Ox și trece prin punctul B (-1; 3);
3) parabola se află simetric pe axa Oy și trece prin punctul C (1; 1).
4) parabola se află simetric în jurul axei Oy și trece prin punctul D (4; -8).
586. Un cablu de oțel este suspendat la două capete; Punctele de fixare sunt la aceeași înălțime; distanța dintre ele este egal cu 20 m. Mărimea deflexie la o distanță de 2 m de punctul de fixare, presupunând orizontala este de 14,4 cm. Se determină valoarea jgheabului de cablu în mijloc între punctele de atașare, aproximativ presupunând că cablul are forma unui arc de parabole.
587. Construiește o ecuație parabolică care are focalizarea E (0; -3) și trece prin origine, știind că axa ei este axa Oy.
588. Stabiliți liniile care sunt definite prin următoarele ecuații:
1) y = + 2x; 2) y = + √ (- x); 3) y = - 3 √ (- 2x);
4) y = - 2 √x; 5) x = + √ (5y) 6) x = - 5√ (-y);
7) x = - √ (3y); 8) x = + 4 (-y);
Desenați aceste linii pe desen.
589. Găsiți focalizarea F și ecuația direcției directe a parabolei pentru z = 24x.
590. Calculați raza focală a punctului M al parabolei la z = 20x, dacă abscisa punctului M este 7.
591. Calculați raza focală a punctului M al parabolei y 2 = 12x, dacă ordonata punctului M este 6.
592. Pe parabola la z = 16x găsiți punctele a căror rază focală este de 13.
593. Scrieți ecuația parabola dacă sunt date focalizarea F (-7; 0) și ecuația directrix x-7 = 0.
594. Creare ecuație parabolică, știind că coincide sale apex cu punctul (alfa, β), parametrul p este paralelă cu axa Ox și parabole se extinde la infinit:
1) în direcția pozitivă a axei Ox;
2) în direcția negativă a axei Ox.
595. Creare ecuație parabolică, știind că coincide sale apex cu punctul (α, β), parametrul p este, o axă paralelă cu axa y și parabolei se extinde la infinit:
1) în direcția pozitivă a axei Oy (adică parabola se înalță);
2) în direcția negativă a axei Oy (adică parabola este cea descendentă).
596. Pentru a stabili că fiecare dintre următoarele ecuații determină o parabolă și găsiți coordonatele vertexului său A, valoarea parametrului p și ecuația direcției directe: 1) y 2 = 4x - 8; 2) pentru 2 = 4 - 6x; 3) x 2 = 6y + 2; 4) x 2 - 2 - y.
597. Stabiliți că fiecare din următoarele ecuații definește o parabolă și găsiți coordonatele vârfului A și valoarea parametrului p: 1) y = 1/4 x 2 + x + 2; 2) y = 4x 2 - 8x + 7; 3) y = -1 / 6 x 2 + 2x - 7.
598. Stabiliți că fiecare din următoarele ecuații definește o parabolă și găsiți coordonatele vârfului său A și valoarea parametrului p: 1) x = 2y 2 - 12y + 14;
2) x = - 1 / 4y 2 + y; 3) x = -y2 + 2y-1.
599. Determinați ce linii sunt definite prin următoarele ecuații:
1) y = 3 - 4 √ (x - 1); 2) x = -4 + 3 (y + 5);
3) x = 2 - √ (6 - 2y); 4) y = - 5 + √ (-Sx-21).
Desenați aceste linii pe desen.
600. Scrieți ecuația parabola dacă focalizarea ei este F (7; 2) și directrix x = 5 = 0
601. Scrieți ecuația parabolei dacă se dau focalizarea ei F (4; 3) și directrix y + 1 = 0.
602. Scrieți ecuația parabolei dacă focalizarea ei este F (2; -1) și directrix x - y - 1 = 0.
603. Având în vedere vârful parabolei A (6; -3) și ecuația direcției sale directe 3x - 5y + 1 = 0, găsiți focalizarea F a acestei parabole.
604. Având în vedere un vârf al parabolei A (-2; -1) și ecuația directrix x + 2y-1 = 0. Scrieți ecuația acestei parabole.
605. Determinați punctele de intersecție a liniei x + y - 3 = 0 și parabola x 2 = 4y.
606. Determinați punctele de intersecție a liniei 3x + 4y - 12 = 0 și parabola y 2 = - 9x.
607. Determinați punctele de intersecție a liniei 3x - 2y + 6 = 0 și parabola y 2 = 6x.
608. În următoarele cazuri, determinați modul în care linia dată este poziționată în raport cu o anumită parabolă - indiferent dacă se intersectează, atinge sau trece în afara ei: 1) x - y + 2 = 0, y 2 = 8x; 2) 8x + 3y - 15 = 0, x2 = -3y; 3) 5x-y-15 = 0, y2 = -5x.
609. Determinați pentru care valori ale coeficientului unghial k linia dreaptă y = kx + 2 1) intersectează parabola y 2 = 4x; 2) se referă la aceasta; 3) trece dincolo de această parabolă.
610. Derulați condiția sub care linia y = kx + b este tangentă la parabola y 2 = 2px.
611. Dovada ca la o parabolă pentru z = 2px se poate desena o singură tangentă cu un coeficient unghiular k ≠ 0.
612. Scrieți ecuația tangentei la parabola la z = 2px la punctul său M1 (x1; y1).
613. Scrieți o ecuație de linie dreaptă care atinge parabola la z = 8x și este paralelă cu linia dreaptă 2x + 2y - 3 = 0.
614. Scrieți o ecuație de linie dreaptă care atinge parabola x 2 = 16y și este perpendiculară pe linia dreaptă 2x + 4y + 7 = 0.
615. Desenați tangenta parabolului la z = 12x paralel cu linia dreaptă 3x - 2y + 30 = 0 și calculați distanța d între această tangență și linia dată.
616. Găsiți punctul M1 al parabolei la z = 64x. cel mai apropiat de linia 4x + 3y - 14 = 0 și calculați distanța d de la punctul M1 la această linie.
617. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabolă la z = 3xx trase din punctul A (2; 9).
618. O linie tangentă a fost trasă la parabola lui z = 2px. Dovada că vârful acestei parabole se află în mijlocul punctului de intersecție a tangentei cu axa Ox și proiecția punctului de tangență pe axa Ox.
619. Din punctul A (5; 9), sunt trase tangente la parabola y 2 = 10x. Scrieți ecuația coardei care conectează punctele de tangență.
620. Din punctul P (-3; 12), sunt trase tangente la parabola y 2 = 10x. Calculați distanța d de la punctul P la coarda parabolului care leagă punctele de tangență.
621. Determinați punctele de intersecție a elipsei x 2/100 + y 2/225 = 1 și parabola la 2 = 24x. x *
622. Determinați punctele de intersecție ale hiperbola x 2/20 - y 2/5 = -1 și parabola pentru 2 = 3x
623. Determinați punctele de intersecție a două parabole: y = x 2 - 2x + 1, x = y 2 - 6y + 7.
624. Pentru a dovedi că linia referitoare la parabolei la un moment dat M este unghiuri egale cu raza punctului focal M și cu un fascicul care, de M, este paralelă cu axa parabolei în direcția în care parabolei se extinde la nesfârșit.
625. O rază de lumină este îndreptată din centrul parabolei la z = 12x la un unghi a a axei Ox. Se știe că tgα = 3/4. După ce a ajuns la parabola, raza sa reflectat din ea. Scrieți ecuația liniei drepte pe care se află raza reflectată.
626. Dovadați că două parabole care au o axă comună și o focalizare comună situată între vârfurile lor se intersectează într-un unghi drept.
627. Să se demonstreze că dacă două parabole cu axe reciproc perpendiculare se intersectează la patru puncte, atunci aceste puncte se află pe un cerc.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: