Considerăm un vector v cu un punct inițial la originea în orice sistem de coordonate x-y și cu un punct finit în (a, b). Spunem că vectorul este în poziția standard și se referă la acesta ca vector de rază. Rețineți că o pereche de puncte definește acest vector. Astfel, putem folosi acest lucru pentru a desemna un vector. Pentru a sublinia că avem în minte un vector și pentru a evita confuzia, de regulă, scrie:
v =.
Coordonata a este scalarul componentului orizontal al vectorului, iar coordonata b este scalarul componentei verticale a vectorului. Prin scalar, înțelegem o cantitate numerică, nu o cantitate vectorială. Astfel, aceasta este considerată o formă componentă a v. Rețineți că a și b sunt NU vectori și nu ar trebui să fie confundați cu definiția componentei vectoriale.
Acum luați în considerare cu A = (x1, Y1) și C = (x2, Y2). Să ne uităm cum să găsim echivalentul vectorului de rază. După cum puteți vedea în figura de mai jos, punctul de pornire A este mutat la origine (0, 0). Coordonatele P se găsesc prin scăderea coordonatelor A de la coordonatele C. Astfel, P = (x2 - x1, y2 - y1) și vectorul de rază este.
Se poate arăta că ambele au aceeași magnitudine și direcție și, prin urmare, sunt echivalente. Astfel, =.
Exemplul 1 Găsiți formularul component dacă C = (-4, -3) și F = (1, 5).
Soluție Avem
= =.
Rețineți că vectorul este egal cu vectorul de rază, așa cum se arată în figura de mai sus.
Acum, că știm cum să scriem un vector într-o formă componentă, să subliniem câteva definiții.
Lungimea vectorului v este ușor de determinat atunci când sunt cunoscute componentele vectorului. Pentru v =. noi avem
| v. | 2 = v 2 1 + v 2 2 Folosind teorema lui Pitagora
| v. | = √ v 2 1 + v 2 2.
Lungime. sau valoarea sucursalei v = se găsește ca | v | = √ v 2 1 + v 2 2.
Doi vectori sunt egali sau echivalenți dacă au aceeași valoare și aceeași direcție.
Operații cu vectori
Pentru a multiplica vectorul V cu un număr pozitiv, îi multiplicăm lungimea cu acest număr. Direcția lui rămâne aceeași. Atunci când vectorul V este înmulțit cu 2, de exemplu, lungimea sa este dublată, dar direcția sa nu se schimbă. Atunci când vectorul este înmulțit cu 1,6, lungimea lui crește cu 60%, iar direcția rămâne aceeași. Pentru a multiplica vectorul V cu un număr negativ real, înmulțiți lungimea acestuia cu acest număr și schimbați direcția spre dreapta. De exemplu, atunci când un vector este înmulțit cu (-2), lungimea sa este dublată și direcția sa este inversată. Deoarece numerele reale funcționează ca multiplicatori scalari în multiplicarea vectorilor, numim scalarele lor și produsul kv este numit multiplu scalar al v.
Pentru un număr real k și un vector v =. produsul scalar al k și v este
kv = k. =.
Vectorul kv este un multiplu scalar al vectorului v.
Exemplul 2 Fie u = și w =. Găsiți - 7w, 3u și - 1w.
Acum putem adăuga doi vectori folosind componentele. Pentru a adăuga două vectori în forma componentă, adăugăm componentele corespunzătoare. Fie u = și v =. atunci
u + v =
De exemplu, dacă v = și w =. atunci
v + w =
Dacă u = și v =. atunci
u + v =.
Înainte de a defini scăderea vectorilor, trebuie să definim - v. Spre deosebire de vectorul v =. arătat mai jos, nu există
- v = (- 1) v = (- 1) =
Scăderea vectorilor, cum ar fi u-v implică scăderea componentelor corespunzătoare. Vom arăta acest lucru reprezentând u - v ca u + (- v). Dacă u = și v =. atunci
u - v = u + (- v) = + =
Putem ilustra scăderea vectorilor utilizând o paralelogramă. așa cum am făcut pentru adăugarea de vectori.
Scăderea vectorilor
Dacă u = și v =. atunci
u - v =.
Este interesant să se compare sumele a doi vectori cu diferența acelorași doi vectori într-o paralelogramă. Vectorii u + v și u - v sunt diagonalele paralelogramului.
Exemplu 3 Faceți următoarele calcule, unde u = și v =.
a) u + v
b) u - 6v
c) 3u + 4v
d) | 5v - 2u |
Soluția
a) u + v = + = =;
b) u = 6v = - 6. = - =;
c) 3u + 4v = 3 + 4 = + =;
d) | 5v - 2u | = 5. - 2. | = | - | = | | | = √ (-29) 2 + 21 2 = √ 1282 ≈ 35,8
Înainte de a formula proprietățile adăugării și multiplicării vectorilor, trebuie să definim un alt vector special, vectorul zero. Un vector al cărui punct inițial coincide cu un punct finit se numește vectorul zero. este notat cu O, sau. Valoarea lui este 0. În adăugarea de vectori:
v + O = v. + =
Operațiile pe vectori au aceleași proprietăți ca operațiile pe numere reale.
Proprietățile adăugării și multiplicării vectorilor
Pentru toți vectorii u, v și w și pentru toate scalarele b și c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b (cv) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b (u + v) = bu + bv.
Un vector de dimensiune, sau lungime 1, se numește orth. Vectorul v = este un vector unic, deoarece
| v. | = | | | = √ (- 3/5) 2 + (4/5) 2 = √ 9/25 + 16/25 = √ 25/25 = √ 1 = 1.
Exemplul 4 Găsiți vectorul unității, care are aceeași direcție cu vectorul w =.
Soluție Mai întâi găsim lungimea w:
| w | = √ (-3) 2 + 5 2 = √ 34. Astfel căutăm un vector cu lungimea 1 / √ 34 de w și în aceeași direcție cu vectorul w. Acest vector este
u = w / √ 34 = / √ 34 =.
Vectorul u este un vector de unitate, deoarece
| u | = | w / √ 34 | = = √ 9/34 + 25/34 = √ 34/34 = √ 1 = 1.
Dacă v este vector și v ≠ O, atunci
(1 / | v |) • v, sau v / | v,
este vectorul unității în direcția v.
Deși unitățile pot avea orice direcție, unitățile paralele cu axele x și y sunt deosebit de utile. Acestea sunt definite ca
i = și j =.
Orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară a vectorilor unității i și j. De exemplu, permiteți v =. Togda
v = + = v1 + v2 = v1 i + v2j.
Exemplul 5 Exprimarea vectorului r = ca o combinație liniară de i și j.
Soluția
r = 2i + (-6) j = 2i - 6j.
Exemplul 6 Scrieți vectorul q = - i + 7j în forma componentă.
Soluția q = - i + 7j = -1i + 7j =
Operațiile vectoriale pot fi de asemenea efectuate atunci când vectorii sunt scrise ca linii i și j.
Exemplul 7 Dacă a = 5i - 2j și b = -i + 8j, găsiți 3a - b.
Soluția
3a - b = 3 (5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.
Unghiuri de vizualizare
Punctul final P al unității în poziția standard este un punct pe cercul unității definit (cosθ, sinθ). Astfel, vectorul unitar poate fi exprimat în forma componentă,
u =,
sau ca o combinație liniară a vectorilor de unitate i și j,
u = (cosθ) i + (sin θ) j,
unde componentele u sunt funcții ale unghiului de vizualizare θ măsurat în sens invers acelor de ceasornic de la axa x la acest vector. Deoarece θ variază de la 0 la 2π, punctul P urmărește cercul x 2 + y 2 = 1. Aceasta acoperă toate direcțiile posibile ale vectorilor și apoi ecuația u = (cosθ) i + (sinθ) j descrie fiecare vector de unitate posibil în plan.
Exemplul 8 Calculați și faceți o schiță a orta u = (cosθ) i + (sinθ) j pentru θ = 2π / 3. Desenați un singur cerc pe schiță.
Soluția
u = (cos (2π / 3)) i + (sin (2π / 3)) j = (- 1/2) i +
Fie v = cu unghiul de vizualizare θ. Folosind definiția funcției tangente, putem determina unghiul de vizualizare al componentelor lor v:
Exemplul 9 Se determină unghiul de vizualizare θ al vectorului w = - 4i - 3j.
Soluția Știm asta
w = - 4i - 3j =.
Astfel, avem
tanθ = (-3) / (-4) = 3/4 și θ = tan-1 (3/4).
Deoarece w este în al treilea cvadrant, știm că θ este unghiul celui de-al treilea cvadrant. Unghiul corespunzător este
tan - 1 (3/4) ≈ 37 ° și θ ≈ 180 ° + 37 ° sau 217 °.
Unghiuri între vectori
Atunci când un vector este înmulțit cu un scalar, rezultatul este un vector. Când se adaugă doi vectori, rezultatul este de asemenea un vector. Astfel, ne putem aștepta ca produsul a doi vectori să fie un vector, dar acest lucru nu este valabil. Produsul scalar al a doi vectori este un număr real sau un scalar. Acest rezultat este util pentru găsirea unghiului între doi vectori și pentru a determina dacă cei doi vectori sunt perpendiculari.
Produsul scalar al doi vectori u = și v = este
u • v = u1. v1 + u2 .v2
(Rețineți că u1 v1 + u2 v2 este un scalar, nu un vector.)
Exemplul 10 Găsiți produsul scalar când
u =. v = și w =.
a) u • w
b) w • v
Soluția
a) u • w = 2 (- 3) + (-5) 1 = - 6 - 5 = - 11;
b) w • v = (-3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.
Un produs scalar poate fi folosit pentru a găsi unghiul între două vectori. Unghiul dintre cele două vectori este cel mai mic unghi pozitiv format de două segmente direcționate. Astfel, θ între u și v este același unghi ca și între v și u și 0 ≤ θ ≤ π.
Dacă θ este unghiul dintre doi vectori nen pentru u și v, atunci
cosθ = (u · v) / | u || v |.
Exemplul 11 Găsiți unghiul dintre u = și v =.
Soluție Începem prin a găsi u | v, | u |, și | v |:
u • v = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| u | = √ 3 2 + 7 2 = √ 58. și
| v. | = √ (-4) 2 + 2 2 = √ 20.
Togda
cosá = (u · v) / | u || v | = 2 / √ 58 .√ 20
α = cos-1 (2 / √ 58.√20)
α ≈ 86,6 °.
Echilibrul forțelor
Atunci când mai multe forțe acționează în același punct pe obiect, suma vectorilor lor trebuie să fie egală cu zero, pentru a avea un echilibru. Când există un echilibru de forțe, atunci obiectul este staționar sau se mișcă în linie dreaptă, fără accelerare. Faptul că suma vectorului trebuie să fie zero pentru derivarea pentru a obține un echilibru și invers ne permite să rezolvăm multe probleme aplicate care implică forțe.
Exemplul 12 Unitatea de suspensie O unitate de 350 de kilograme este suspendată utilizând două cabluri. la stânga. La punctul A există trei forțe care acționează după cum urmează: Blocul W se trage în jos și R și S (două cabluri) trag în sus și în afară. Găsiți sarcina fiecărui cablu.
Soluție Să elaborăm o diagramă cu punctele de start ale fiecărui vector la începutul coordonatei. Pentru echilibru, suma vectorilor trebuie să fie egală cu 0:
R + S + W = O.
Putem exprima fiecare vector prin magnitudinea și unghiul de vedere:
R = | R | [(cos125 °) i + (sin125 °) j],
S = | S | [(cos37 °) i + (sin37 °) j] și
W = | W | [(cos270 °) i + (sin270 °) j]
= 350 (cos270 °) i + 350 (sin270 °) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = - 1.
Înlocuind R, S și W în R + S + W + O, avem
(Cos125 °) + | S | (cos37 °)] i + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350] j = 0i + 0j.
Acest lucru ne oferă un sistem de ecuații:
(Cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350 = 0.
Rezolvând acest sistem, obținem
| R | ≈ 280 și | S | ≈ 201.
Astfel, sarcina pe cabluri este de 280 de kilograme și 201 de lire sterline.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: