Calculul integratului dublu în coordonate carteziene
Fie funcția a două variabile z = f (x, y) să fie dată și continuă în domeniul închis D⊂xOy. Integralul dublu al acestei funcții asupra domeniului D are forma:
Domeniul D⊂xOy se spune că este exact în direcția axei Oy dacă orice linie dreaptă paralelă cu axa Oy traversează limita domeniului la cel mult două puncte (cu excepția secțiunilor limitei paralele cu Oy).
Dacă domeniul D este regulat în direcția axei Oy (Figura 2), atunci acesta poate fi definit printr-un sistem de inegalități:
În acest caz, integrarea dublă a funcției z = f (x, y) pe domeniul D poate fi calculată cu ajutorul unui integrat dublu (repetat):
Aici, integralele interne se calculează de la variabila y sub presupunerea că x este o constantă (x = const); rezultatul evaluării integratului interior este o funcție Φ (χ). Apoi, integrala exterioară a Φ (x) în raport cu variabila x este calculată în limite constante, rezultatul fiind un număr.
Dacă domeniul D este regulat în direcția axei Ox (Figura 3), atunci el este dat de sistemul de inegalități:
și atunci integralele duble sunt reduse la un integrat repetat prin formula:
Aici, integrala interioara este calculata din variabila x sub ipoteza ca y = const; rezultatul calculului integratului interior este o funcție a lui y. care este apoi integrată în limite constante.
Dacă domeniul D este obișnuit în ambele direcții. atunci integritatea repetată nu depinde de ordinea integrării, iar pentru calculul integratului dublu se poate folosi oricare dintre cele două ordini de integrare:
Dacă domeniul D este incorect în ambele direcții, atunci acesta poate fi descompus în părți obișnuite și poate folosi proprietatea de aditivitate a integratului dublu:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: