§ 1.16. Metoda funcțiilor lui Green
Determinarea funcției Green. Vom lua în considerare problemele legate de valoarea limită
Considerăm o funcție continuă, împreună cu primele derivatele parțiale în regiunea închisă delimitată de o suprafață suficient de netedă și având un al doilea derivate parțiale sunt integrate în zona în care unitatea exterioară normală la suprafața numerelor reale astfel încât
Metoda funcțiilor lui Green pentru rezolvarea acestor probleme este următoarea. Mai întâi rezolvăm problema auxiliară [1]
unde funcția, care poate fi definită formal prin intermediul relațiilor
(denumirea este clară). Proprietatea principală a unei funcții este egalitatea
unde o funcție continuă arbitrară a punctului
Definiția. Soluția problemei (1.51) este numită funcția verde a problemei (1.50).
Vom cere ca funcția Verde să fie continuă (împreună cu derivate parțiale de ordinul întâi) peste tot în domeniul închis, cu excepția momentului în care funcția poate avea o singularitate.
Dacă se găsește funcția Green, atunci cu ajutorul ei este ușor de găsit soluția problemei originale (1.50). Pentru aceasta folosim formula a doua a lui Green
Această formulă este ușor de obținut din formula Gauss-Ostrogradsky
(a este un câmp vectorial, produsul scalar al vectorilor), dacă punem succesiv și scăderea rezultatelor. Într-adevăr, avem două egalități
Luând în considerare faptul că prin scădere obținem din egalitățile (1.53) și (1.54) formula lui Green a doua.
Acum punem formula verde, apoi ținem cont de faptul că obținem
Dar proprietatea principală este o funcție
Așadar, precedența egalității
Din această formulă obținem:
a) soluția problemei Dirichlet pentru
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: