Tabelul 5 Valoarea erorii de calcul
Să estimăm numărul de noduri necesare pentru calcularea integrala. a căror valoare exactă este de două. Considerăm mai întâi estimările teoretice, a căror utilizare este simplificată datorită faptului că valoarea maximă a derivatului oricărei ordini a păcatului x este una.
Din relațiile (4.8), (4.10), (4.12) avem (pentru b = a = m = I):
(4.13)
Rezultatele practice prezentate în tabelul nr. 5, sunt în acord cu aceste estimări.
Din datele date, se poate concluziona că pentru a obține o eroare relativă, cel mai mic număr de noduri n0; pe fiecare jumătate de oscilație este 80 în metoda dreptunghiului, 11 în metoda Simpson și 4 în metoda Gauss. Avantajul metodei din urmă în integrarea rapidă a funcțiilor oscilante este destul de evident.
Numărul total de noduri N în integrarea funcțiilor unidimensionale este. înmulțită cu numărul de jumătăți de oscilații. Cum să determinăm acest număr? Firește, funcția integrantul f (x) = cos [2 (x)] și f (x) = sin [2 (x)] face ca o poluostsillyatsiyu schimbare argumentul (x) la 0,5. În consecință, pentru o funcție monotonă (x), numărul de jumătăți de oscilații este m = 2. unde este scara funcției (x). Pentru o funcție nonmonotonică, m este de două ori suma totală a scalelor la toate intervalele de monotonie (vezi figura 16), adică,
(4.14)
Formula (4.14) este incomod, dacă funcția (x) este puternic neliniare și poluostsillyatsii integrantul au lățimi diferite. În acest caz, pentru ca fiecare să aibă cel puțin n0; noduri alege rațional pas de integrare variabilă în funcție de lățimea poluostsillyatsii poate, de exemplu, divizat intervalul de integrare (b - a) subintervale n1 mare astfel încât (x)) în fiecare dintre ele variază destul de lin și numărul de noduri din subinterval pentru a determina mk număr ; semi-oscilațiile care apar pe el. Valoarea mk poate fi estimată din valoarea derivatului k al funcției k. dacă presupunem că în fiecare subinterval argumentul este liniar
Numărul total de noduri este dat de formula
(4.15)
derivate unde - k în toate subintervențele
O astfel de metodă, cu toate acestea, complică în mod semnificativ integrarea cu algoritmul, așa că de multe ori să ia numărul de noduri, cu o marjă de a fi noduri contabilizate N0 la cea mai îngustă poluostsillyatsiyu a căror lățime poate fi estimată ca
(4.16)
Prin urmare, numărul total de noduri este
(4.17)
În acest caz, folosind metode și Simpson dreptunghiuri întregul interval este împărțit în mod egal pe N sau N + 1 subintervale în conformitate cu expresiile (4.7) și (4.9). Când utilizați metoda Gauss, selectați mai întâi numărul nodurilor n din subintervalul h. și apoi găsiți numărul n1 al subintervențelor
() și apoi folosiți formula (4.11). De obicei, n = 8-16.
Rețineți că Formula (4.15) și (4.17), caracterizat prin aceea că ultima parte a valorii maxime în primul derivat și în schimb include valoarea medie a tuturor subintervale, cu toate acestea, formula (4.17) poate da suschectvenno număr umflat de noduri în comparație cu formula ( 4.15) pentru funcții puternic neliniare (x).
Să estimăm pentru un exemplu numărul de noduri în calculul difracției PSF * cu formula (4.1). În acest caz, argumentul (x) al integranței complexe este și derivatul său maximal în raport cu variabila integrării este
Dar există o aberație transversală maximă în coordonatele canonice, a este dimensiunea maximă a PSF pentru care se face calculul. Această dimensiune este aleasă astfel încât să conțină energia de bază a PSF. Dacă nu era nici o difracție, atunci. Efectele difracției cauzează estomparea energiei în afara punctelor geometrice, dar experiența arată că nu mai mult de 1,5-2,5 unități canonice (restul planului imagine conține mai puțin de 5% din spoturile de energie). Presupunem pentru claritate.
Apoi și numărul de noduri cu o variabilă, în conformitate cu formula (4.17). există
sau
(4.18)
deoarece intervalul de integrare (b - a) este dimensiunea elevului în coordonate canonice și este egal cu două. Pentru două variabile, numărul total de noduri va fi de ordin (pentru întregul elev) sau de ordine (pentru jumătate din elev ținând cont de proprietățile de simetrie). Pentru a utiliza formula de difracție pentru PSF, înseamnă că, dacă raza geometrică a punctului de împrăștiere, adică nu depășește 2,5 unități canonice. În acest caz extrem, avem și. Pentru metoda de dreptunghiuri și. pentru metoda Gauss și. Din exemplul de mai sus reiese clar că singularitățile integranului conduc la calcule considerabile laborioase și că utilizarea metodei dreptunghiului este foarte ineficientă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: