Se ia în considerare o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale care conduc la ecuații cu variabile separabile. Este dat un exemplu de soluție detaliată a ecuației diferențiale care are ca rezultat o ecuație cu variabile separabile.
Luați în considerare ecuația diferențială
(I),
unde f este o funcție, a, b, c sunt constante, b ≠ 0.
Această ecuație este redusă la o ecuație cu variabile separabile.
Metoda de soluționare
Facem substituția:
u = ax + cu + c
Aici y este o funcție a variabilei x. Prin urmare, u este, de asemenea, o funcție a variabilei x.
Diferențăm cu privire la x
u '= (ax + de + c)' = a + prin '
Înlocuim (i)
u '= a + prin' = a + b f (ax + prin + c) = a + b f (u)
sau:
(Ii)
Separați variabilele. Multiplicați prin dx și împărțiți cu a + b f (u). Dacă a + b f (u) ≠ 0. atunci
Integrarea, obținem integrala generală a ecuației inițiale (i) în quadratures:
(Iii).
În concluzie, considerăm cazul
(iv) a + b f (u) = 0.
Să presupunem că această ecuație are n rădăcini u = ri. a + b f (ri) = 0 i = 1, 2. n. Deoarece funcția u = ri este constantă, derivatul său în raport cu x este zero. Prin urmare, u = ri este o soluție a ecuației (ii).
Cu toate acestea, ecuația (ii) nu coincide cu ecuația inițială (i) și, eventual, nu cu toate soluțiile u = ri. exprimată prin variabilele x și y. satisface ecuația inițială (i).
Astfel, soluția ecuației inițiale este integralele generale (iii) și unele rădăcini ale ecuației (iv).
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale rezultând o ecuație cu variabile de separare
Rezolvați ecuația
Facem substituția:
u = x - y
Diferențăm în raport cu x și efectuăm transformările:
;
Multiplicați prin dx și împărțiți cu u 2.
Dacă u ≠ 0. atunci obținem:
Acum, luați în considerare cazul u = 0. sau u = x - y = 0. sau
y = x.
Deoarece y '= (x)' = 1. atunci y = x este o soluție a ecuației inițiale (1).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: