Serii numerice. Convergența și suma seriei. Un semn necesar de convergență. Seria Znakopostoyannye. Semne suficiente de convergență.
Anterior, proprietăți și reguli în însumarea unui număr finit de termeni au fost instalate, această sumă nu este modificată prin rearanjarea termenilor, suma funcției derivatului este suma derivatelor lor etc. Întrebarea este în ce situație pot fi transferate aceste proprietăți ale sumelor finite la sume care sunt infinite?
Să se dea o serie de numere reale
se numește o serie numerică. numerele de termeni din serie. - al n-lea sau al termenului general al seriei. Suma primilor n termeni ai seriei se numește suma parțială n și este notată cu simbolul :.
Dacă pentru o secvență de sume parțiale există o limită finită S. atunci seria (1.1) este numită convergentă. iar numărul S este suma acestei serii. În acest caz, scrie: .
Se spune că seria (1.1) este divergentă. dacă nu există sau este infinită. Seria obținută de la (1.1) prin eliminarea primelor termeni m se numește restul seriei (1.1):
Seria converge sau deviază cu restul său.
Exemplul 1: Având în vedere o secvență infinită. Luați în considerare seria :. Suma sa parțială "n-a" este :. Să luăm în considerare cazurile:
a) găsim, adică limita finită există și este egală cu un număr finit (suma unei progresii geometrice descendent infinit).
b) în acest caz: atunci seriile se deosebesc.
c) Să presupunem. În acest caz seria are forma: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + .... În acest caz, suma parțială și. Prin urmare, seria se diferențiază (prin definiție).
d) Să presupunem că. În acest caz, seria are forma: 1-1 + 1-1 + 1- .... În acest caz, suma și apoi limita secvenței sumelor parțiale nu există și seria nu converge. astfel avem: seria originală converge și dacă diferă dacă.
Exemplul 2: Luați în considerare seria :. Rețineți că. În acest caz, suma n-a parțială a seriei este egală cu:
și apoi. Astfel, sa stabilit că seria converge, iar suma ei este de 1.
Exemplul 3: Luați în considerare seria :. Să considerăm sumele parțiale ale seriei cu numărul:
astfel Avem asta, dacă, pentru că o sumă mai mică tinde spre infinit. Dar am considerat doar o subsecventa a unei secvente de sume partiale. Secvența este o secvență în creștere. Apoi va aspira la infinit, adică seria originală (armonică) devine divergentă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: