O serie funcțională a formularului
sau, mai concis, o serie de forme
se numește o serie trigonometrică. Numerele constante se numesc coeficienți ai seriei trigonometrice.
Dacă seria (1) converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu perioada în care u sunt funcții periodice cu perioadă
Punem următoarea problemă.
Având în vedere o funcție periodică cu perioadă În ce condiții pentru f (x) putem găsi o serie trigonometrică care converge la o anumită funcție?
Această sarcină va fi rezolvată în acest capitol. Determinarea coeficienților seriei de formulele Fourier. Fie funcția f (x) periodică cu perioada astfel încât să fie reprezentată de o serie trigonometrică care converge la o funcție dată în intervalul respectiv, adică este suma acestei serii:
Să presupunem că integrarea funcției de pe partea stângă a acestei ecuații este egală cu suma integralelor termenilor seriei (2). Aceasta, de exemplu, se va împlini, dacă presupunem,
că o serie numerică compusă din coeficienții unei serii trigonometrice date este absolut convergentă, adică o serie numerică pozitivă
Apoi seria (1) este majorizată? și, prin urmare, poate fi integrat term cu termen în intervalul de la. Folosim acest lucru pentru a calcula coeficientul
Integrăm ambele părți ale egalității (2) în intervalul de la:
Se calculează separat fiecare integrabil care are loc în a treia parte:
Pentru a calcula coeficienții rămași ai seriei, avem nevoie de anumite integrale definite, pe care le-am considerat în avans.
Dacă sunt numere întregi, atunci se păstrează următoarele egalități; dacă da
Să calculam, de exemplu, primul integral al grupului (I). deoarece
În mod similar, pot fi obținute formulele rămase (I). Integralii grupului (II) sunt calculați direct (a se vedea capitolul X, volumul I). Acum putem calcula coeficienții seriei (2). Pentru a găsi coeficientul pentru o valoare specifică, se multiplică ambele părți ale (2) prin:
Seria obținută în partea dreaptă a ecuației este majorată, deoarece termenii ei nu depășesc în termeni absenți termenii seriei convergente pozitive (3). Prin urmare, acesta poate fi integrat term cu termen pe orice interval.
Integrăm egalitatea (2) în intervalul de la:
Luând în considerare formulele (II) și (I), vedem că toate integralele din partea dreaptă sunt egale cu zero, "integralul integratului cu coeficientul
Înmulțind ambele laturi ale (2) prin integrarea din w din nou, găsim
Coeficienți determinate prin formulele sunt numite Fourier coeficienții a seriilor trigonometrice (1) cu coeficienții se numește f (x) Fourier funcția.
Să ne întoarcem acum la întrebarea pe care am pus la începutul acestei secțiuni: ce proprietăți trebuie să aibă o funcție care a fost construit pentru ea și seria Fourier converge la suma seriei Fourier construită egală cu valoarea acestei funcții la punctele corespunzătoare?
Formăm aici o teoremă care oferă condiții suficiente pentru ca funcția f (x) să fie reprezentată de o serie Fourier.
Definiția. f (x) este funcția monotonă se numește pe porțiuni segmentul dacă segmentul poate fi rupt de un număr finit de puncte la intervale de timp, astfel încât fiecare funcție interval este monotonă, t. e. fie nonincreasing sau nondecreasing.
Rezultă din definiție că dacă o funcție f (x) este monotonă și limitată pe un interval, atunci ea poate avea doar puncte de discontinuitate de primul tip. Într-adevăr, dacă există un punct de discontinuitate a unei funcții, atunci, din cauza monotonicității funcției, există limite
t. e. punctul c este un punct de discontinuitate a primului tip (figura 374).
Acum afirmăm următoarea teoremă.
Teorema. Dacă o funcție f periodică (x), cu perioada monotonă și mărginită pe porțiuni în intervalul, atunci seria Fourier, construit pentru această funcție converge la toate punctele. Suma seriei obținute este egală cu valoarea funcției f (x) în punctele de continuitate ale funcției. La punctele de discontinuitate a lui f (x) funcția este egal cu suma media aritmetică a limitelor funcției f (x) pe dreapta și pe stânga, adică. E. În cazul în care un punct de discontinuitate a funcției f (x), atunci
Rezultă din această teoremă că clasa funcțiilor reprezentabile de seria Fourier este destul de largă. Prin urmare, seriile Fourier au găsit o aplicare largă în diferite departamente ale matematicii. Seria Fourier se utilizează în mod special cu succes în fizica matematică și aplicațiile sale la probleme specifice de mecanică și fizică (vezi capitolul XVIII).
Dăm această teoremă fără probe. În §8-10 se va da un alt criteriu suficient pentru extinderea unei funcții într-o serie Fourier, care într-un anumit sens aparține unei clase de funcții mai restrânse.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: