într-un curs electiv
"În spatele paginilor din manualul de matematică"
pentru elevi de 10-11 grade
"Matematica este numită o știință tautologică: cu alte cuvinte, se spune despre matematicieni că ei petrec timp dovedind că obiectele sunt egale cu ele însele. Această afirmație este foarte inexactă din două motive. În primul rând, matematica, în ciuda limbajului său științific, nu este o știință; mai degrabă, se poate numi artă. În al doilea rând principalele rezultate ale matematicii adesea exprimate de inegalități, mai degrabă decât egalități. "
Inegalitățile sunt folosite în activitatea practică a matematicii în mod constant. Acestea sunt utilizate pentru un număr de proprietăți interesante și importante ale extreme forme „simetrice“: pătrat, cub, un triunghi echilateral, precum și pentru a demonstra convergența proceselor iterative și calcularea unor limite. Rolul inegalităților în diverse probleme ale științei și tehnologiei naturale este, de asemenea, important.
Problemele de dovedire a inegalităților sunt cele mai dificile și mai interesante decât cele tradiționale. Dovada inegalităților necesită ingenuitate adevărată, creativitate, care face matematica imaginația fascinantă subiectul așa cum este.
Predarea probelor joacă un rol important în dezvoltarea gândirii deductive-matematice și a abilităților generale de gândire ale studenților. Cum putem învăța pe elevi să demonstreze în mod independent inegalitățile? Răspunsul este: numai prin luarea în considerare a numeroase metode și metode de probă și aplicarea lor regulată.
Ideile folosite pentru a demonstra inegalitățile sunt aproape la fel de diverse ca și inegalitățile. În situații specifice, metodele comune duc deseori la decizii urâte. Dar câțiva studenți nu reușesc să combine mai multe inegalități "de bază". Și, în plus, nimic nu împiedică elevul în fiecare caz, pentru a căuta cea mai bună soluție decât metoda comună primită. Din acest motiv, dovezile inegalităților sunt adesea atribuite domeniului artei. Și, la fel ca în orice artă există unele tehnici, dintre care un set este foarte largă și de master foarte dificil, dar fiecare cadru didactic trebuie să fie angajat la extinderea stocului existent în instrumentul său matematic.
Acest modul este recomandat elevilor din clasele 10-11. Aici nu ia în considerare toate metodele posibile de dovedire a inegalităților (care nu sunt afectate de schimbarea metodei variabile, dovada inegalităților care utilizează instrumente derivate, de cercetare și compilare de metode, tehnici de comanda). Invitat să ia în considerare alte metode pot fi în a doua fază (de exemplu, gradul 11), în cazul în care modulul cursului va fi de interes pentru studenți, precum și concentrându-se pe succesele de asimilare prima parte a cursului.
Dovada inegalităților este un subiect interesant și complex al matematicii elementare. Lipsa unei abordări unificate a problemei de a demonstra inegalități conduce la căutarea unui număr de tehnici adecvate pentru a demonstra inegalitățile anumitor tipuri. În acest curs electiv, vor fi luate în considerare următoarele metode de dovedire a inegalităților:
1. Dovada inegalităților pe baza definiției.
2. Metoda inducției matematice.
3. Aplicarea inegalităților clasice.
5. Metoda prin contradicție.
6. Considerăm inegalitățile cu privire la una dintre variabile.
Definiție: Se spune că numărul real a este mai mare decât (mai puțin decât) numărul real b, dacă diferența lor este un număr a-b-pozitiv (negativ).
Dacă a> b și b> c, atunci a> c.
Dacă a> b. apoi a + c> b + c.
Dacă a> b și m> 0, atunci am> bm.
Dacă a> b și m b și b> c, atunci a> c.
Dacă a> b și c> d, atunci a + c> b + d.
Dacă a> b și c> d, atunci ac> bd, a, b, c, d> 0.
Dacă a> b. atunci un n> b n, a, b 0 ,.
Dacă a> b. atunci un n> b n, n-impar.
Dovedește câteva proprietăți.
1) (inequality Cauchy)
Inegalitatea (1) este numită după matematicianul francez Auguste Cauchy. Numărul este numit media aritmetică a numerelor a și b;
numărul este numit media geometrică a a și b. Astfel, inegalitatea înseamnă că media aritmetică a două numere pozitive nu este mai mică decât media geometrică.
Luați în considerare câteva sofisme matematice cu inegalități.
Sofismul matematic este o afirmație uluitoare, în dovada căruia se găsesc greșeli inconsecvente și, uneori, destul de subtile.
Sofismele sunt rezultate false obținute prin raționament, care par a fi corecte, dar conțin neapărat una sau altă eroare.
Patru mai mult de doisprezece
Dovada inegalităților pe baza definiției.
Esența acestei metode este următoarea: în vederea stabilirii inegalității F (x, y, z)> S (x, y, z) face diferența F (x, y, z) -S (x, y, z) și dovedește că este pozitivă. Folosind această metodă, pătrat frecvent izolat, suma cub sau diferență, o parte pătrată a sumei sau a diferenței. Acest lucru ajută la determinarea semnului diferenței.
Un exemplu. Dovedește inegalitatea (x + y) (x + y + 2cosx) +2 2sin 2 x
Luați în considerare diferența (x + y) (x + y + 2cosx) +2 - 2sin 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + 2cos 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 + 2 (x + y) COSX + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + COSX) 2 + cos 2 x 0.
Sarcini pentru lucrul în sala de clasă și acasă
Metoda inducției matematice.
În dovada inegalităților care implică numere naturale, se recurge adesea la metoda inducției matematice. Metoda este după cum urmează:
1) verificăm adevărul teoremei pentru n = 1;
2) admitem că teorema este adevărată pentru unele n = k, și pornind de la această ipoteză demonstrăm adevărul teoremei pentru n = k + 1;
3) pe baza primelor două etape și a principiului inducerii matematice, concluzionăm că teorema este adevărată pentru orice n.
1) pentru n = 2 inegalitatea este adevărată:
2) Să presupunem că inegalitatea deține pentru n = k, adică, (*)
Să demonstrăm că inegalitatea este adevărată pentru n = k + 1, adică, . Noi multiplicăm ambele laturi ale inegalității (*) cu 3) Din subsecțiunile 1 și 2, concluzionăm că inegalitatea este valabilă pentru orice n.
Sarcini pentru lucrul în sala de clasă și acasă
Lecția 4. Aplicarea inegalităților clasice.
Esența acestei metode este după cum urmează: cu ajutorul unui număr de transformări, inegalitatea cerută este derivată cu ajutorul unor inegalități clasice.
Ca inegalitate de sprijin pe care o folosim.
Reducem această inegalitate în următoarea formă:
Sarcini pentru lucrul în sala de clasă și acasă.
1) (p + 2) (q + 2) (p + q) 16pq (inegalitatea este folosită pentru probă)
2) (inegalitatea este folosită pentru doc)
3) (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (inegalitatea este folosită pentru doc)
4) (pentru doc, inegalitatea este folosită).
Lecția 5. Metodă grafică.
Dovada inegalităților prin metoda grafică este următoarea: dacă demonstrăm inegalitatea f (x)> g (x) (f (x) 0
Lecția 6. Metoda din partea opusă
Esența acestei metode constă în următoarele: Să necesitatea de a dovedi validitatea inegalității F (x, y, z) S (x, y, z) (1). Să presupunem contrariul, și anume. F că cel puțin un set de variabile pentru inegalitate F (x, y, z) S (x, y, z) (2). Folosind proprietățile inegalităților, inegalitățile (2) sunt transformate. Dacă obțineți o inegalitate falsă, ca urmare a acestor modificări, aceasta înseamnă că ipoteza de inegalitate (2) este falsă, deci inegalitatea (1).
Presupunem contrariul, adică,
Să ne ridicăm ambele părți ale inegalității la un pătrat, pe care îl obținem, din care și mai departe
. Dar aceasta contrazice inegalitatea Cauchy. Prin urmare, presupunerea noastră este falsă, adică inegalitatea
Sarcini pentru lucrul în sala de clasă și acasă.
cos 36 0> tg 36 0.
Lecția 7. Luarea în considerare a inegalităților cu privire la una dintre variabile.
Esența metodei este de a lua în considerare inegalitatea și soluția sa în raport cu o variabilă.
Considerăm inegalitatea în raport cu variabila x.
Luați în considerare o funcție al cărei grafic este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus.
, adică, inegalitatea este valabilă pentru orice x și y.
Sarcini pentru lucrul în sala de clasă și acasă.
Lecția8. Ideea de consolidare
Esența acestei metode poate fi dezvăluită pe baza următoarei afirmații:
Documente conexe:
conceptul de a demonstra inegalitatea. metode de demonstrare a inegalității. Să poată demonstra inegalități. Cunoașteți: conceptul de a demonstra inegalitatea. metode de demonstrare a inegalității. Să poată demonstra inegalități. Să știi.
să înțeleagă proprietățile și dovezile lor. profesorul dezvoltă o intuiție geometrică. Ecuații inegalități raționale și sisteme de inegalități. Ecuațiile și inegalitățile cu modulul Moduli. Ecuații și inegalități cu modulul Logaritme Logaritmic.
Conceptul de modul de număr real. Definiții aritmetice și geometrice ale modulului. Deblocarea modulelor. inegalitate. Dovada inegalității. Soluția inegalităților liniare, pătrate, fracțional-raționale cu o variabilă. Soluționarea inegalităților.
Demonstrați metodele de evidență a inegalităților ușor mai complexe utilizând această inegalitate simplă. Deci, în acest program ministerial.
Trimiteți-le prietenilor: