Metode explicite și implicite

Procesul de formare a unui model matematic pentru algebraization integrarea numerică include în mod necesar etapa care constă în transformarea ecuații algebrice diferențiale ordinare. Se bazează pe utilizarea uneia dintre metodele de integrare numerică.







Dacă ecuația diferențială

și condițiile inițiale, atunci următoarea valoare poate fi obținută prin integrarea (3.1):

Integralul definit în (3.2) este numeric egal cu aria de sub curba din intervalul (Figura 3.2).

Aproximativ această zonă poate fi calculată ca suprafața unui dreptunghi al cărui înălțime este egală cu valoarea funcției de pe limita stângă a intervalului sau cu valoarea de la limita dreaptă a intervalului. Evident, zonele celor două dreptunghiuri delimitate de sus de segmentele 1 și 2 din Fig. 3.3, va fi mai aproape de valoarea exactă a integrala, cu atât este mai mic pasul de integrare.

Substituind în (3.2) valorile aproximative ale integralului, putem obține două formule:

Expresia (3.3) este formula pentru metoda explicită Euler. Metoda se numește explicită deoarece valoarea necunoscută poate fi calculată direct din valoarea cunoscută la punctul anterior.

Formula (3.4) corespunde metodei implicite Euler. Aici, o valoare necunoscută este folosită în partea dreaptă a expresiei. prin urmare, este imposibil să se calculeze direct din această formulă.

O valoare mai precisă a integratului (3.2) este dată de metoda trapezoidală, la care segmentul 3 din Fig. 3.3. atunci

Această formulă se aplică, implicit, și celor implicite.

Pentru metode explicite, procedura de formare a unui model pentru integrarea numerică este limitată la algebrarea ecuațiilor diferențiale inițiale. În special, formula (3.3) nu necesită transformări suplimentare și este gata de aplicare.

Pentru metodele implicite acțiuni suplimentare depind de ceea ce metodă pentru sistemele de ecuații neliniare puse în aplicare în acest pachet de rezolvare. O opțiune este de a utiliza metoda iterativă a lui Newton, care este cunoscut, are cea mai mare rata de convergență între metodele utilizate, practic, și în care sistemul este rezolvată în mod repetat ecuații algebrice liniarizate.

În acest caz, se realizează a doua etapă de pregătire a modelelor matematice pentru metode implicite, care constă în liniarizarea ecuațiilor algebrice neliniare, adică la extinderea funcțiilor neliniare într-o serie Taylor și la păstrarea numai a termenilor liniari ca rezultat.

Să presupunem că avem o ecuație neliniară algebrică

unde este un vector al variabilelor.

Expansiunea (3.6) dintr-o serie Taylor care păstrează doar termenii liniari oferă o înlocuire aproximativă

unde este aproximarea inițială, în care sunt luate valorile variabilelor din etapa anterioară de integrare;

- valoarea necunoscută a variabilei la etapa de integrare.

Expresia (3.7) poate fi scrisă ca o ecuație liniară algebrică

unde - se calculează pentru valori cunoscute ale variabilelor la etapa anterioară de integrare;







Astfel, procesul de modelare numerică în cazul general al sistemelor neliniare prin metode implicite constă în formarea și soluționarea la fiecare etapă a integrării unui sistem de ecuații algebrice liniare

care include componenta și ecuațiile topologice ale circuitului simulat. În același timp, procedurile algebraization liniarizare afectează numai componenta a ecuației, deoarece ecuația algebrică topologic întotdeauna liniar.

Să luăm în considerare un exemplu legat de pregătirea unui model pentru soluția numerică a unei ecuații diferențiale neliniare de ordinul doi

Primul pas este reducerea acestei ecuații la problema Cauchy, adică la un sistem de ecuații de ordinul întâi, datorită introducerii unei noi variabile:

Formulele explicite ale metodei Euler au forma

Formulele implicite sunt scrise astfel:

Pentru a trece la înregistrarea matricei, efectuăm o serie de transformări:

O intrare de matrice are forma

Formula (3.7), în general, trebuie utilizat iterativ. Soluția acestei ecuații este găsită o aproximare inițială dată. Ar trebui să fie utilizat ca următoarea aproximarea în (3.7) și se repetă formarea și soluții de ecuații liniare, atâta timp cât două aproximări succesive nu vor fi aproape de o anumită precizie. În simulare numerică puteți utiliza doar o singură repetare, alegând un pas de integrare suficient de mică și faptul că valorile variabilelor din etapa anterioară este o bună aproximare.

3.2.3. Alegerea între metode explicite și implicite
în procedurile de modelare a sistemelor tehnice

Alegerea între metodele explicite și implicite este o problemă gravă. Mulți experți consideră că metodele implicite sunt instrument mai puternic și versatil pentru sisteme tehnice probleme de simulare [23, 15]. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că recent a apărut de modelare destul de puternic și versatil asistată de calculator, cum ar fi, de exemplu, MATLAB sau Bauman [17], care permite selectarea metodei implicite sau explicite pentru rezolvarea problemei. Anterior am folosit metode explicite sau implicite, deoarece necesita o diferite modele de componente.

sunt aplicate cu aspect modern sisteme de modelare automate, potrivite pentru simularea sistemelor tehnice, de regulă, metode de integrare numerică implicite. Metodele implicite sunt mai potrivite pentru sistemele de diferențiale și ecuații algebrice de rezolvare, în afară de acestea sunt mai stabile. Ca urmare, în ciuda costului ridicat al timpului de calculator la fiecare pas de integrare asociate cu necesitatea rezolvării liniare, costul total poate fi semnificativ mai mică din cauza creșterii etapei de integrare și de a reduce numărul total de pași.

Considerăm această caracteristică a metodelor implicite utilizând exemplul metodelor explicite și implicite Euler [21], definite prin formulele (3.3) și (3.4), respectiv.

Aplicăm aceste formule pentru integrarea numerică a celei mai simple ecuații diferențiale liniare

Ecuația caracteristică a unui sistem dinamic dat are forma

unde este constanta de timp a sistemului.

Singurul pol al sistemului este în jumătatea planului stâng, de aceea sistemul inițial este stabil. În consecință, orice soluție a ecuației, cu. tinde la zero.

Ecuația diferenței corespunzătoare soluției numerice prin metoda explicită Euler este scrisă ca

Se știe că condiția de stabilitate pentru ecuația diferențială rezultată este

Aceasta înseamnă că alegerea poate schimba calitativ forma soluției, transformând un proces stabil într-unul instabil.

Astfel, etapa de integrare este impusă o limitare evidentă - nu poate fi mai mult decât un sistem permanent de timp, în caz contrar apropierea discretă devine instabilă. Dacă sistemul are mai multe constante de timp, atunci o astfel de constrângere conectează pasul de integrare cu cea mai mică constantă de timp.

Trecerea la metode de ordin superior nu schimbă mult imaginea. Pentru metoda Runge-Kutta din a patra ordine, cerința de stabilitate limitează dimensiunea pasului. sau, mai general ,. unde este valoarea maximă proprie a matricei Jacobi [29].

Aplicarea metodei implicite Eulerian la același sistem dă

unde restricția privind mărimea pasului pare diferită:

care vă permite să alegeți un pas de orice valoare, concentrându-se numai asupra nivelului de eroare necesar.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: