Dimensiunea totală a populației

Dimensiunea totală a populației

Așa cum am menționat mai devreme, suntem uneori interesați nu numai de numărul de indivizi ai unei comunități care trăiește în orice moment, ci și de numărul total al persoanelor care au trăit vreodată. Rezolvarea acestei probleme este mult mai ușoară decât pare la prima vedere. Luați în considerare, de exemplu, un simplu proces de reproducere și de deces, descris în Sec. 8.2, cu ratele de reproducere și de deces, respectiv P și Pentru a descrie numărul de indivizi care trăiesc în populație la momentul t, folosiți o valoare aleatorie și descrieți dimensiunea totală a populației - o valoare aleatorie. Apoi, variabila aleatoare va repeta salturile pozitive ale variabilei aleatoare, dar nu va repeta salturile negative, deoarece se schimbă numai atunci când apar noi membri în populație.







Astfel, singurele valori non-zero ale funcției sunt

Este ușor de observat că ecuația diferențială parțială de bază pentru funcția de generare a momentelor are forma

în condițiile inițiale

Ecuația (8.57) este încă valabilă chiar dacă și sunt funcții ale lui t. Prin urmare, metoda obișnuită bazată pe derivarea ecuației pentru funcția de generare a seminarierilor și ecuațiilor diferențiale obișnuite pentru șapte invarianți este în întregime aplicabilă, iar pentru anumite funcții această metodă poate fi foarte utilă. Cu toate acestea, nu este încă posibilă obținerea unei soluții explicite pentru cazul general.







Când u sunt constante, este destul de ușor să rezolvăm ecuațiile diferențiale obișnuite. În ceea ce privește așteptările matematice și variația numărului de indivizi vii ai populației, valorile date de formulele (8.33) și (8.34) ar trebui să fie obținute din nou, deoarece nu am intenționat să schimbăm legile de dezvoltare ale acestui grup de indivizi. Cu toate acestea, așteptările matematice și varianța pentru populație sunt exprimate prin alte formule:

Dacă atunci valorile limită ale lui u au forma

astfel încât numărul mediu de indivizi care au existat vreodată în populație (cu extincție definitivă) este egal; Acestea includ persoanele care au existat la momentul inițial

Apoi, putem găsi o expresie explicită pentru funcția de generare a probabilităților. Punerea în formule (8.57) și găsirea că ecuația corespunzătoare pentru are forma

în condițiile inițiale

(Ecuația (8.62) poate fi scrisă și utilizând formula generală (8.48)). Rezolvând această ecuație prin metodele obișnuite, obținem

unde funcția variabilei y, determinată de rădăcinile următoarei ecuații patratice:

(Această ecuație patratică este formată automat când se rezolvă una dintre ecuațiile caracteristice.)

Expresia (8.64) este suficient de compactă, deși este dificilă și din aceasta provin proprietăți interesante. De exemplu, puteți obține o distribuție explicită asimptotică a mărimii totale a populației, pentru care trebuie doar să calculați. Avem

unde este probabilitatea ca numărul total de indivizi care au trăit vreodată într-o populație să fie.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: