COMPORTAREA ASIMPTOTICĂ A FUNCȚIILOR Compararea funcțiilor infinitezimale
Comportamentul asimptotic (sau asimptotică) într-un cartier dintr-un punct de caracter (finit sau infinit) înțeleg își schimbă funcția sa ca argument x la acest punct. Acest comportament de obicei, încercați să fie reprezentată de un alt, mai simplu și studiul funcțiilor, care se află în vecinătatea și cu suficientă precizie descrie schimbarea de interes pentru noi funcția sau evalua comportamentul acestuia cu un partid sau altul. În acest sens, apare problema comparației modifică natura celor două funcții într-un cartier al unui cont asociat coeficientul lor de. De interes special sunt cazurile în care x și ambele funcții sunt fie infinit mici (infinitezimale) sau infinit de mare (bb). 10.1. Comparația funcțiilor infinitezimale Funcția este de a compara caracterul lor de proximitate la zero la x o, sau rata lor de convergență la zero. Să presupunem că bm pentru x ca funcție de (i) și P (x) este diferit de zero în unele cartier eliminat (a) din punctul a și punctul și sunt zero sau nedeterminat. Definiție 10.1. Funcțiile a (x) și 0 (x) sunt numite bm. o comandă pentru o înregistrare și og (k) = în O (/ ( „)?) (a se citi despre caracterul "mare"), în cazul în care există o limită finită nenul a raportului A (x) // (? i), adică Evident, apoi, în conformitate cu (7.24), TWI € R \, și înregistrarea legitimă a lui x ^ A0 [a (x)) Despre simbol are un tranzitiv, adică în cazul în care -. Într-adevăr, cu definiția 10.1 și proprietăți ale unui produs de funcții (vezi. (7.23)) având finit (în acest caz, nu este zero) limite obține un comportament asimptotic. Compararea funcțiilor infinitezimale. definiție 10.2. funcţia a (x) se numește b. m mai mult Expunerea la ordinea extremă de mărime în comparație cu (3 (x) (sau relativ / 3 (x)) pentru x a și înregistrată) (simbolul citit io scăzut dacă există o limită zero a raportului și în acest caz, se spune că este folosită funcția .m. un ordin mai mic de mărime în comparație cu (x) x o, iar cuvântul micimea de obicei omise (ca și în cazul de ordin superior în determinarea 10.2). Aceasta înseamnă că dacă lim (funcția /> (x) este, conform definiției 10.2, lm. un ordin mai mare decât o (x) cu x și un (I) este infinitezimal un ordin inferior, în comparație cu / 3 (x) pentru x și, pentru acest caz lijTi (fi (x) / ot (x)). Deci, putem scrie Conform Teorema 7.3, funcția de conectare, limita și infinitezimal Funcția de (10.3) care ot) - funcția, BM la. Prin urmare, o (x). și anume valorile | a (s) | pentru x, aproape de o mult mai mică decât valorile \ 0 (x) \. Cu alte cuvinte, funcția a (x) tinde la zero, mai rapid decât funcția / (x). TEOREM 10.1. Produsul de orice bm atunci când x și funcțiile unui (x) și F (x)> diferit de zero, într-o vecinătate a unei găurite când x este infinitezimal și ¥ funcția de ordine superioară în comparație cu fiecare dintre factori. Într-adevăr, conform definiției 10,2 lm ordin superior (din definiția 7,10 um funcție), egalitatea înseamnă valabilitatea teoremei. Egalitatea conține simboluri O și O, numite uneori estimări asimptotice. Definiție 10.3. Funcții ot (x) și / 3 (x), se spune infinitezimal incomparabil pentru x - ¥ și, în cazul în care nu există nici o limită finită, nici infinită a relației lor, și anume, dacă $ lim (x) / 0 (x) (p £ vnokak $ lim 0 (x) / (x)). Exemplul 10.1. a. A (x) = x și / (x) = sin2ar prin definiție 10.1 - BM din aceeași ordine ca și x 0, deoarece în vedere (b. 1 și funcția, iar când x este infinitezimal de ordin mai mare decât x
1> adică Yap ao = (a: p "1 *) ca lim (xa / x" 1) = Dacă este necesar, o comparație mai exactă a caracteristicilor de comportament infinitezimal funcții cu -► x și una dintre ele este selectat ca un fel de referință și numesc de bază. Desigur, alegerea bm-ului de bază. într-o anumită măsură arbitrară (tendința de a alege mai simplu: x pentru x- * 0; x-1 când x -41; 1 / x x -> oo și altele asemenea). Din puterile lui 0k (x) din bm-ul fundamental. Funcția /> (x) cu diferiți indici k> 0 (pentru k = 0 0k (x) nu este infinitezimal) cuprind cravată de evaluare comparație mai complex infinitezimal funcția a (z). Definiție 10.4. Funcția a (z) se numește bm. k-lea ordinea micimea in (3 (x) la x o, iar numărul k - ordinea micimii, dacă funcția a (z) și / Zk (x) sunt aceeași ordine ca și infinitezimale x a), adică . Dacă cuvântul „mic“, în acest caz, omis de obicei Nota: 1) procedura să funcționeze în ceea ce privește una infinitezimal alta poate fi orice număr întreg pozitiv, și 2) în cazul în care ordinea funcțiilor unei (x) cu respect / 3 (x) este egal cu k, ordinea funcției F (x), în raport cu un (x) este egal cu 1 / k 3) nu este întotdeauna pentru funcția infinitezimale a (x) este chiar comparabil cu toate puterile / * (x), puteți specifica o anumită ordine în ?. Exemplul 10.2 și funcția cosx, conform definiției 10.4, - .. um, pentru k = 2 în raport cu 0 (x) la x = x 0, deoarece în vedere b considerăm funcțiile arată că, pentru orice într-adevăr, în conformitate cu (.. 7,32). Astfel, infinitezimal ca x - »+ 0 funcția a1 / 1 este comparabilă cu x * pentru orice k> O, dar pentru această caracteristică pentru a specifica ordinea micimii cu privire la x nu poate determina ordinea # o funcție BM în raport cu celălalt nu este. . întotdeauna doar posibil să se recomande un curs de acțiune: 1) scrie sub raportul limită (x) / 0K (x) \ 2), pentru a analiza atitudinile înregistrate și să încerce să-l simplifice și 3), pe baza rezultatelor cunoscute pentru sugestia unei posibile valoare a lui k> unde va exista o limită finită diferită de zero; 4) verificați presupunerea prin calcularea limitei. Exemplul 10.3. Definim ordinea bm. Funcția tgx - sin x pentru x ca x - »• 0; găsim un număr k> să avem comportamentul asimptotic. Comparația funcțiilor infinitezimale. În această etapă, știind că la x 0, potrivit (7,35) și (7.36), (sinx) / x 1 și cosx -> 1, și luând (7,23) și (7.33), se poate determina această condiție (10,7) este îndeplinită atunci când k = 3. Într-adevăr, calcularea directă a limitei pentru k = 3 conduce la o valoare a = 1/2: rețineți că pentru k> 3, obținem o limită infinită, iar în cazul în care limita este zero.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: