Se știe că pentru orice valoare de x, egalitatea
Prin urmare, y = sin x este o funcție ciudată, iar y = cos x este o funcție uniformă. Deoarece pentru orice valoare de x în domeniul definiției funcției y = tg x egalitatea tg (-x) = -tg x este adevărată, atunci y = tan x este o funcție ciudată.
Se știe că pentru orice valoare de x egalitățile
sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x.
Din aceste egalități rezultă că valorile sinusoidale și cosinuse se repetă periodic când argumentul este schimbat prin 2π. Astfel de funcții se numesc periodice cu perioada 2π.
Funcția f (x) se spune că este periodică. dacă există un număr T ≠ 0 astfel încât pentru orice x în domeniul definiției acestei funcții, egalitatea f (x - T) = f (x) = f (x + T) este valabilă.
Numărul T este numit perioada funcției f (x).
Din această definiție rezultă că dacă x aparține domeniului de definire a funcției f (x). atunci numerele x + T, x - T și, în general, numerele x + Tn, n Є Z, aparțin de asemenea domeniului de definire al acestei funcții periodice și f (x + Tn) = f (x)
Numărul 2π este cea mai mică perioadă pozitivă a funcției y = cos x. și pentru funcția y = sin x.
π este cea mai mică perioadă pozitivă a funcției tan x.
Domeniul funcției este setul tuturor numerelor reale. Setul de valori ale funcției este intervalul [-1; 1], adică funcția sinusoidală este limitată. Funcția este impare: sin (-x) = - sin x pentru toate x ∈ R. Graficul grafic al funcției este simetric în raport cu originea. Funcția periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă 2π. sin (x + 2π · k) = sin x, unde k ∈ Z pentru toate x ∈ R. sin x = 0 pentru x = π · k. k ∈ Z. sin x> 0 (pozitiv) pentru toate x ∈ (2π · k · π + 2π · k), k ∈ Z. sin x <0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k. 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Funcția crește de la -1 la 1 la intervale:
Funcția scade de la -1 la 1 la intervale:
Figura 1.3.6.3. Limita funcției y = x (x ≠ 0); 1 (x = 0)> pentru x → 0 este egal cu 0.
Limita funcției la punctul a = 0 este 0: Limita funcției la punctul a = 0 este, de asemenea, 0, deși această funcție nu există în acest moment (numitorul acesteia dispare). Limita funcției la punctul a = 0 este 0, deși valoarea funcției în acest punct este f (0) = 1.
Dacă funcția f (x) are o limită în punctul a. atunci această limită este unică.
Numărul A1 se numește limita funcției f (x) din stânga în punctul a. dacă pentru fiecare # 949;> 0 există # 948;> 0 astfel încât pentru toate inegalitățile
Numărul A2 este numit limita funcției f (x) din dreapta la punctul a. dacă pentru fiecare # 949;> 0 există # 948;> 0 astfel încât pentru toate inegalitățile
Limita din stânga denotă limita din dreapta. Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Ele sunt deseori numite limite unilaterale. În notarea limitelor unilaterale, ca x → 0, primul zero este de obicei omis: u. Astfel, pentru o funcție
Dacă pentru fiecare # 949;> 0 există a # 948; - ciclul punctului a. că pentru toate x. satisfacerea condiției | x - a | <δ, x ≠ a. выполняется неравенство |f (x )|> # 949; atunci se spune că funcția f (x) are o limită infinită la punctul a:
Astfel, funcția are o limită infinită la punctul x = 0. Deseori, limitele egale cu + ∞ și -∞ se disting. De exemplu,
Dacă pentru fiecare # 949;> 0 există a # 948;> 0 astfel încât pentru orice x> # 948; inegalitatea | f (x) - A | <ε, то говорят, что предел функции f (x ) при x. стремящемся к плюс бесконечности, равен A :
Definiția limitei pentru x este formulată în mod similar. care tinde să scadă minus infinitul: Ca exemplu, dăm o funcție care tinde la zero la infinit:
În cele din urmă, înregistrarea înseamnă că pentru orice # 949;> 0 există a # 948;> 0 astfel încât pentru orice x> # 948; inegalitatea f (x)> # 949;. Înregistrarea înseamnă că pentru orice # 949;> 0 există a # 948;> 0 astfel încât pentru orice x> # 948; inegalitatea f (x) <–ε. Запись означает, что для любого ε> 0 există o a # 948;> 0 astfel încât pentru orice x <–δ выполняется неравенство f (x ) <–ε.
Dacă funcția f (x) are o limită finită la punctul a. atunci există o vecinătate a unui. în care funcția f este limitată (este posibil ca în punctul a însăși funcția să nu fie definită). În plus, dacă A ≠ 0, atunci există o vecinătate a lui a. în care (poate cu excepția punctului a însăși) valorile funcției f au același semn ca și numărul A.
Dacă există o astfel de situație # 948;> 0, care pentru toate x. aparținând # 948; - vecinătatea punctului a. inegalitățile
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: