Integrarea funcțiilor trigonometrice - stadopedia

Astfel, începutul arcului (punctul A) corespunde valorii parametrului t1 = 0, vârful (punctul B) - valoarea t2 = p. și sfârșitul (punctul C) - valoarea lui t3 = 2p. Zona întregului arc al cicloidului poate fi găsită prin calcularea ariei jumătății arcului S1 (figura 8.4). Prin formula 8.13 obținem







2. Calcularea lungimii arcului unei curbe plane

1 Să presupunem că în plan, un anumit arc (linia curbei) este graficul funcției diferențiate continuu y = f (x) în intervalul
[A; b] (Figura 8.1). În acest caz, lungimea l a arcului poate fi calculată din formula:

. (8.14)
1 Să presupunem că arcul (Figura 8.1) este un grafic al unei funcții definite parametric pe un interval [t1; t2], unde funcțiile y (t) și x (t) pot fi diferențiate continuu pe un anumit interval. Apoi lungimea l a arcului poate fi calculată din formula:

Problema 8.7. Calculați lungimea arcului unei parabole semicubice pe intervalul [0; 1] (figura 8.5).

Soluția. Parabola semicubică constă din două ramuri simetrice în raport cu axa OX. Lungimea necesară l este egală cu suma lungimilor arcurilor (l1) și (12). Deoarece lungimile arcurilor coincid, atunci l = 2l1.

Astfel, conform formulei (8.14), obținem:

Problema 8.8. Calculați lungimea astroidului
(Figura 8.6).

Soluția. Astroidul, precum și cicloidul (sarcina 8.6) pot fi construite din puncte (ca un exercițiu, fă-l singur). Astroidul este format din patru părți egale în lungime. Găsiți lungimea arcului astroidului, situat în primul trimestru, și înmulțiți-l cu patru. Startul arcului (punctul N) corespunde valorii parametrului. capătul arcului (punctul M) corespunde valorii parametrului.







Astfel, conform formulei (8.15), găsim lungimea astroidului:

3. Calculul volumului unui corp cu o secțiune transversală cunoscută.

Să presupunem că proiecția unui corp pe axa OX este intervalul [a; b] (Figura 8.7). Să presupunem că la fiecare punct x al intervalului [a; b] știm zona S (x) a secțiunii transversale a unui corp dat. Împărțim intervalul [a; b] puncte pe n părți și trage în fiecare dintre punctele obținute un plan perpendicular pe axa OX. Pentru un număr suficient de mare de partiții ale intervalului
[A; b], corpul este tăiat într-un număr mare de părți (straturi), fiecare dintre acestea putând fi considerat aproximativ un cilindru. Înălțimea stratului i (cilindru) este egală cu Dxi = xi - xi-1.

Pentru zona de bază a cilindrului i luăm. unde este un punct arbitrar al segmentului i. Apoi, volumul stratului i este aproximativ egal. în consecință, volumul corpului este

Dar suma din (8.16) este o sumă integrală pentru un integral integrat. Astfel, dacă funcția S (x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci volumul unui corp cu o secțiune transversală cunoscută S (x) este egal cu

4. Calcularea volumului corpului de revoluție

Să presupunem că în intervalul respectiv
[A; b] o funcție continuă
y = f (x). Să găsim volumul corpului, obținut prin rotirea graficului acestei funcții în jurul axei OX într-un interval dat. Orice secțiune transversală a unui corp dat de un plan perpendicular pe axa OX. este un cerc (Figura 8.8). Radiusul cercului la un punct arbitrar x Î[A; b] este egal cu valoarea funcției f (x) în acest punct. În consecință, zona cercului este. Substituind S (x) în formula (8.17), obținem formula pentru volumul corpului de rotație:

Problema 8.9. Calculați volumul fusului (Figura 8.9) obținut prin rotirea axei secțiunii OX a sinusoidului situat pe intervalul [0; p].

Soluția. Volumul necesar al corpului de revoluție se găsește din formula (8.18):







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: