Material teoretic pe tema "Interpretarea geometrică a numerelor complexe. Interacțiunea operațiilor cu numere complexe și transformări plane "
1. Reprezentarea geometrică a unui număr complex.
După cum se știe, numerele reale pot fi reprezentate de puncte ale unei linii de număr. În plus, pentru fiecare număr real există un punct unic al liniei de număr. De exemplu, numărul real corespunde punctului A, situat la dreapta punctului inițial O la o distanță de unități de lungime; la numărul real 2 există un punct B, situat la stânga punctului O la o distanță de două unități de lungime; numărul real corespunde cu punctul C situat la dreapta de la 0 la o distanță de unități de lungime (figura 1). În schimb, la fiecare linie de număr corespunde un număr real determinat complet.
De exemplu, la punctele A și B corespund numerelor raționale și -2, iar punctul C este un număr irațional.
Astfel, mulțimea tuturor numerelor reale este în corespondență unu-la-unu cu mulțimea tuturor punctelor liniei de număr.
Așa cum numerele reale pot fi reprezentate de punctele unei linii numerice, numerele complexe pot fi reprezentate geometric de punctele unui avion.
Lăsați un plan de coordonate dreptunghiular pe plan. Numărul complex este reprezentat de punctul planului cu coordonatele (figura 2).
Fiecare punct al planului are anumite coordonate. Prin urmare, pentru o corespondență aleasă, un anumit număr complex va corespunde fiecărui punct al planului.
De exemplu, un punct A la coordonatele (2, 3) corespunde numărului de 2 + 3i, coordonatele punctului B (-1, 1) - numărul -1 + i, punctul cu coordonatele (4, 0) - numărul 4 + 0i și punctul D cu coordonatele (0, -2) - numărul 0-2i (Fig.3).
Dar nu poate fi faptul că același punct al avionului, de exemplu, punctul. numerele complexe vor corespunde. De exemplu, și. Dacă ar fi așa, atunci am fi făcut-o; . Aici. Dar în acest caz, cifrele ar fi egale între ele. Astfel, pentru fiecare număr complex corespunde un singur punct al planului cu coordonate și, invers, la fiecare punct al planului cu coordonate există un număr complex unic.
Astfel, setul de numere complexe este în corespondență unu-la-unu cu mulțimea tuturor punctelor planului.
Cu această interpretare, numerele reale a. și anume numere complexe ale formei a + 0i. sunt reprezentate de puncte cu coordonate (a; 0); puncte ale abscisei. Prin urmare, axa abscisei se numește axa reală. Numerele pur imaginare bi = 0 + bi sunt reprezentate de puncte cu coordonate (0; b); punctele axei ordonate, astfel încât axa ordinii este numită axa imaginară. Punctul cu coordonatele (0; b) este notat cu bi. De exemplu, punctul (0; 1) este notat cu i, punctul (0; -1) este punctul-i, punctul (0; 2) este punctul 2i. Originea este punctul O (figura 4).
Planul pe care sunt reprezentate numerele complexe se numește planul complex.
Punctele z și -z sunt simetrice în raport cu punctul O (originea) și punctele z și sunt simetrice în raport cu axa reală. Lasă-l să fie. Apoi. . Punctele z și au coordonate respectiv (a; b) și (-α; -b), prin urmare, ele sunt simetrice în raport cu originea. Punctul are coordonate (a; -b), prin urmare, este simetric cu punctul z față de axa reală (figura 5).
O corespondență unu-la-unu duce la următoarea interpretare geometrică a numerelor complexe: fiecare număr complex este reprezentat geometric pe plan ca un punct A (a; b) sau ca vector
cu originea la origine și cu sfârșitul la punctul A cu coordonatele (a; b) (figura 6).
Folosind reprezentarea geometrică a numerelor complexe cu ajutorul vectorilor, este ușor să dați o interpretare geometrică a adunării și scăderii numerelor complexe.
2. Reprezentarea geometrică a sumei numerelor complexe.
Luați în considerare interpretarea geometrică a adăugării a două numere complexe și. Suma numerelor este un număr. Luați în considerare vectorii. la sfârșitul căruia se află un punct. . la sfârșitul căruia se află un punct. și. la sfârșitul căruia se află un punct. provenind din punctul O. Vectorul este diagonala paralelogramului (figura 7).
Astfel, adăugarea de numere complexe și, de regulă, poate fi interpretată ca o adăugare prin regula paralelogramă a vectorilor corespunzători u.
3. Reprezentarea geometrică a diferenței de numere complexe.
Vectori reprezentând numere complexe și. sunt simetrice în raport cu originea, deoarece capetele acestor vectori - punctele M (a; b) și N (-a; -b) - sunt simetrice în raport cu originea (Fig.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: