În cazurile luate în considerare, oscilațiile pliate reciproc perpendiculare, am obținut cifre mărginite de un dreptunghi cu laturi egale cu și.
Figurile lui Lissajous sunt traiectorii închise trase de un punct care efectuează oscilații armonice în două direcții reciproc perpendiculare. Figurile Lissajous pot fi observate cu un osciloscop, alimentând simultan intrarea și intrarea (plăcile orizontale și verticale de deviere) ale tensiunilor variabile ale frecvențelor multiple.
În cazul adăugării a două frecvențe multiple de oscilații reciproc perpendiculare, obținem cifrele Lissajous corespunzătoare:
Exemplu: Obțineți cifre Lissajous:
a) la o multiplicitate de frecvență
Rezolvarea împreună, eliminarea dependenței de timp
dacă obținem o parabolă inversă (Figura 5.8):
b) pentru multitudinea de frecvențe
obținem o figură Lissajous a tipului "coroana cu trei vârfuri" (figura 5.9):
c) la o multitudine de frecvențe obținem un cardioid (figura 5.10):
Tabelul 5.1 prezintă cifrele Lissajous pentru diferite multiplicități și diferențe de fază ale frecvențelor pliate:
Figurile din tabelul 5.1.
Pentru a obține figura Lissajous, este posibil să se utilizeze metoda grafică, care este după cum urmează: plotting două pliabilă oscilație reciproc armonice cu frecvențe multiple și apoi retrăgând valorile coordonatelor în aceleași intervale de timp și apoi aplicate la un punct de pe grafic (vezi Fig. . 5.11).
Atunci când se trasează puncte, este necesar să se ia în considerare faptul că este necesar să se termine această procedură nu mai devreme decât timpul corespunzător unei perioade mai lungi de două oscilații pliabile.
Cu toate acestea, problema inversă este de importanță practică, ceea ce face posibilă determinarea multiplicității oscilațiilor pliate, adică cunoașterea valorii frecvenței unei singure oscilații, putem determina frecvența necunoscută prin formula de mai jos:
unde, este numărul de intersecții prin figura Lissajous a axelor și, în consecință, frecvența oscilațiilor reciproc perpendiculare este pliată (exemplu în Figura 5.12).
Întrebări pentru autocontrol
1. Ce se numesc oscilațiile rezultate și cum pot fi clasificate?
2. Definirea oscilațiilor coerente.
3. Care este metoda de batai?
4. În ce măsură se va schimba amplitudinea oscilațiilor rezultate în funcție de diferența dintre fazele inițiale ale oscilațiilor pliate?
5. Rezultatul adăugării oscilațiilor care sunt oscilații ne-armonice rezultante?
6. Ce oscilații se numesc bateți?
7. Ce se numesc oscilații eliptice polarizate?
8. Descrieți reprezentarea grafică a oscilațiilor eliptic polarizate.
9. În ce caz, elipsa degenerează într-un segment de linie dreaptă?
10. În ce caz este traiectoria unui punct un cerc?
11. În ce cazuri semnul plus corespunde ecuației și în ce cazuri are semnul minus?
12. Care sunt rezultatele cifrelor Lissajous? Cu ce dispozitiv le putem observa?
Exemplul 4. Punctul oscilează în conformitate cu legea. Determinați faza inițială dacă și. Construiește o diagramă vectorială pentru moment.
Soluție. Folosim ecuația de mișcare și exprimăm deplasarea în momentul în faza inițială :.
Prin urmare, găsim faza inițială :.
Înlocuiți în această expresie valorile date ale u :. Valoarea argumentului este satisfăcută de două valori ale unghiului:
Pentru a decide care dintre aceste valori ale unghiului îndeplinește și condiția, mai întâi găsim:
Substituind în această expresie valoarea și alternativ valorile fazelor inițiale u găsim
Deoarece întotdeauna și, condiția satisface numai prima valoare a fazei inițiale. Astfel, faza inițială dorită
Din valoarea găsită, construim o diagramă vectorială (vezi Fig.).
Exemplul 5. Un punct participă simultan la două oscilații reciproce perpendiculare, exprimate prin ecuațiile u, unde. Identificați ecuația traiectoriei unui punct și construiți-o specificând direcția mișcării.
Soluția: permiteți simultan oscilarea punctului de-a lungul axelor de coordonate și conform legilor:
unde și sunt coordonatele cartesiene ale punctului. Ecuația traiectoriei mișcării rezultate a unui punct în plan poate fi găsită prin eliminarea din expresiile și parametrul:
După transformări simple obținem ecuația traiectoriei:
Traiectoria are forma unei elipse (vezi Fig.), Iar punctul descrie această elipsă într-un timp egal cu perioada oscilațiilor pliate.
Orientarea în plan a axelor elipsei, precum și a dimensiunilor acesteia, depind de amplitudinile și oscilațiile pliate și de diferența dintre fazele inițiale ale acestora. Dacă, atunci, axele elipsei coincid cu axele de coordonate și dimensiunile semicarcelor sunt egale cu amplitudinile și:
Înlocuind valorile numerice, obținem în cele din urmă:
§5.3. Oscilații armonice mecanice. Armonic oscilator.
Dinamica oscilațiilor armonice
Luați în considerare un punct material care efectuează oscilații armonice rectilinie de-a lungul axei de coordonate. Pentru originea coordonatelor alegem poziția de echilibru pentru un anumit punct. Dependența coordonatelor unui punct la timp are forma:
Din definiția vitezei și accelerației obținem următoarele proiecții pentru punctul material pe axă
unde este amplitudinea vitezei; este amplitudinea accelerației.
Luând în considerare a doua lege a lui Newton, exprimăm forța care acționează asupra punctului material
unde m este masa unui punct material. Din această relație este clar că forța este proporțională cu deplasarea punctului material din poziția de echilibru și este îndreptată în direcția opusă:
Acest tip de dependență a forței de deplasare este caracteristic forței elastice, prin urmare, forțe de altă natură fizică care satisfac același tip de dependență sunt numite cvasi-elastice.
Energia mecanică a oscilațiilor armonice
Luând în considerare formula de mai sus (5.19), considerăm energia cinetică a unui punct material care efectuează oscilații armonice rectilinie:
Analizând aceste relații, putem concluziona că energia cinetică a unui punct material variază periodic de la 0 la, făcând oscilații armonice cu o frecvență ciclică și o amplitudine cu o valoare medie egală cu.
Luând în considerare (5.18), obținem următoarea expresie pentru calcularea energiei potențiale a unui punct material care oscilează armonic sub acțiunea unei forțe cvasi-elastice:
După analiza acestor rapoarte, putem concluziona că energia potențială a valorilor punctelor de material sunt schimbate periodic între 0 și înainte de a efectua oscilații armonice cu frecvența unghiulară și amplitudine aproximativ o valoare medie egală. Din (5.21) și (5.23), putem afirma că oscilațiile potențialul și energia cinetică se realizează cu o schimbare de fază, astfel încât energia mecanică totală a punctului material nu se schimba cu oscilații armonice (care confirmă ZSPME):
Luând în considerare relațiile (5.20), (5.22) și (5.24), este posibilă complotarea dependențelor de timp pentru caz, care sunt reflectate în Fig. 5.13.
Un oscilator armonic este un sistem care efectuează oscilații descrise de o ecuație diferențială a formei:
a cărei soluție este ecuația de oscilație armonică:
Oscilațiile unui oscilator armonic sunt un exemplu important al mișcării periodice și servesc ca un model precis sau aproximativ în multe probleme ale fizicii clasice și cuantice. Exemple de oscilatoare armonice sunt pendulurile de primăvară, fizică și matematică cu amplitudini de oscilație mici.
Să considerăm aceste sisteme care efectuează oscilații armonice libere.
Un pendul de primăvară este o masă de greutate întărită pe un arc absolut elastic, fără greutate, care efectuează oscilații armonice sub acțiunea unei forțe elastice, unde este rigiditatea arcului.
Apoi, găsim perioada de oscilație a acestui pendul. Dacă greutatea este deplasată din poziția zero (în care arcul nu este deformat) cu o distanță, atunci forța din partea arcului va acționa. În plus, gravitatea acționează asupra greutăților. Conform celei de-a doua legi a lui Newton, suma tuturor forțelor aplicate greutății este egală cu unde este accelerația. Astfel, realizând o proiecție pe axa îndreptată de-a lungul traiectoriei mișcării unui pendul dat, putem scrie ecuația diferențială pentru un pendul de primăvară:
unde este accelerarea caderii libere în câmpul gravitațional, al doilea derivat este coordonatele timpului. Această ecuație are următoarea soluție:
Din formula obținută se vede că perioada de oscilație a pendulului de primăvară este
și frecvența unghiulară, respectiv, este egală cu.
Aceste formule sunt valabile în limitele îndeplinirii legii lui Hooke, adică cu mici deformări ale primăverii și, de asemenea, cu condiția ca masa arcului să fie mică în comparație cu masa corpului.
Amplitudinea oscilațiilor și faza oscilațiilor depind de condițiile inițiale (la momentul de timp) - deplasarea inițială a greutăților și viteza inițială. Într-o stare de echilibru, izvorul este întins cu o cantitate.
Un exemplu. Să presupunem că o greutate fluctuantă este asociată cu un marker care atrage o linie pe o bandă de hârtie. Dacă banda se mișcă uniform în direcția orizontală, marcatorul va trage un sinusoid (unde cosinus). Cunoscând viteza benzii și perioada sinusoidului, putem calcula perioada de oscilație a greutăților pe arc.
pendul fizic numit corp solid care oscilează sub influența gravitației sale în jurul unei axe fixe orizontală care nu trece prin centrul de greutate al corpului și se face referire la axa oscilația pendulului. Centrul de greutate al pendulului coincide cu centrul său de masă (figura 5.17). Punctul de intersecție al axei pendul pivotant de planul vertical care trece prin centrul de greutate al pendulului și perpendicular pe axa leagăn, numit punctul de suspendare a pendulului.
În cazul în care forțele de frecare în pendulului suspensie poate fi neglijată, momentul de rotație în raport cu axa pendulului pivotant creează numai forța gravitațională (forța de reacție moment este zero, deoarece forța de reacție trece prin axa pendulului). Abaterea pendulului din poziția de echilibru este caracterizată de unghiul format de linia dreaptă cu verticalul (figura 5.14). Atunci când pendulul se abate de la poziția de echilibru, apare un cuplu de magnitudine egală. Are o direcție care tinde să readucă pendulul la poziția de echilibru (). Având în vedere vectorul asociat direcției de rotație prin regula șurubului drept, vedem că vectorii u sunt direcționați în direcții opuse (figura 5.14). Proiecția vectorului pe axă va fi negativă:
- distanța de la centrul de masă al pendulului la axa oscilantă.
Știm că legea fundamentală a dinamicii unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe are forma:
Datorită volumului mare, acest material este plasat pe mai multe pagini:
1 2 3 4 5
Trimiteți-le prietenilor: