Calculul unui integral integrat

> formula de cvadratură se calculează cu formula (3), atunci formula de cvadratură corespunzătoare se numește formula de cvadratură a tipului de interpolare.

> formula de cvadratură (2) pentru un anumit aranjament de noduri







nu depind de forma integrantei.

2. În formulele de tip quadrature ale tipului de interpolare, restul termenului Rn [f] poate fi reprezentat ca valoarea unui operator diferențial particular pe funcția f (x). pentru

.

3. Pentru polinomi până la ordinul n inclusiv, formula de cvadratură (2) este exactă, adică

. Cel mai înalt grad al unui polinom pentru care este precisă formula de cvadratură se numește gradul de formulă de cvadratură.

Să luăm în considerare cazuri speciale de formule (2) și (3): metoda dreptunghiurilor, trapezoidelor, parabolelor (metoda lui Simpson). Numele acestor metode se datorează interpretării geometrice a formulelor corespunzătoare.

Un integral integrat al funcției unei funcții f (x):

este numeric egal cu aria trapezului curbilinar mărginit de curbele y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (figura 1).

Calculul unui integral integrat

Fig. 1 Aria de sub curba y = f (x) pentru calcularea pătratului intervalul întreg de integrare [a, b] este împărțit în n subintervale egale de lungime h = (b-a) / n. Aria de sub curba integrand este aproximativ inlocuita de suma zonelor de dreptunghi, asa cum se arata in figura (2).

Calculul unui integral integrat

Fig. 2 Aria de sub curba y = f (x) este aproximată de suma suprafețelor dreptunghiurilor
Suma suprafețelor tuturor dreptunghiurilor se calculează prin formula

Metoda reprezentată de formula (4) se numește metoda dreptunghiurilor stângi, iar metoda reprezentată prin formula (5) este metoda dreptunghiurilor drepte:

Eroarea în calculul integratului este determinată de magnitudinea etapei de integrare h. Cu cât este mai mică etapa de integrare, cu cât suma integrală S aproximează valoarea integrată I. Pe baza acestui algoritm este construit un algoritm pentru calcularea integrala cu o precizie dată. Se presupune că suma integrală S reprezintă valoarea integratului I cu o precizie a eps dacă diferența de valoare absolută dintre sumele integrale

, calculate în etapa h și h / 2, respectiv, nu depășește eps.

Metoda de dreptunghiuri medii

Pentru a găsi definite dreptunghiurile secundare integrale cu zona delimitată de liniile drepte a și b, este împărțit în n dreptunghiuri cu baze identice h, înălțimile dreptunghiurile sunt funcția punctelor de intersecție f (x), cu punctele de centru dreptunghiurilor (h / 2). Integralul va fi numeric egal cu suma zonelor de n dreptunghiuri (Figura 3).

Calculul unui integral integrat

Fig. 3 Aria de sub curba y = f (x) este aproximată de suma suprafețelor dreptunghiurilor

,

n este numărul de partiții ale intervalului [a, b].

Pentru a găsi un integral definitiv prin metoda trapezului, zona trapezoidală curbilină este împărțită și în n trapezoidale rectangulare cu înălțimi h și baze y1. v2. v3. YN. unde n este numărul trapezului dreptunghiular. Integralul va fi numeric egal cu suma zonelor trapezoidelor dreptunghiulare (Figura 4).

Calculul unui integral integrat






Fig. 4 Aria de sub curba y = f (x) este aproximată de suma zonelor trapezoidelor rectangulare.

n este numărul de partiții

Eroarea formula trapezoidală este estimată de numărul

Eroarea formulării trapezoidale cu creștere

scade mai repede decât eroarea formulei dreptunghiului. În consecință, formula trapezoidală face posibilă obținerea unei precizii mai mari decât metoda dreptunghiurilor.

Dacă pentru fiecare pereche de segmente

Pentru a construi un polinom de gradul al doilea, atunci integrați-l pe interval

și folosim proprietatea aditivității integralului, obținem formula lui Simpson.

În metoda lui Simpson, pentru a calcula un integral integrat, întregul interval de integrare [a, b] este împărțit în subintervențe de lungime egală h = (b-a) / n. Numărul de segmente ale partiției este un număr par. Apoi, pe fiecare pereche de subintervenții adiacente, funcția integrand f (x) este înlocuită de polinomul Lagrange de gradul al doilea (Figura 5).

Calculul unui integral integrat

Fig. 5 Funcția y = f (x) a intervalului

este înlocuit cu un polinom de ordinul doi

Considerăm integrarea

. Înlocuim această integrare printr-un polinom Lagrange de interpolare de gradul al doilea care coincide cu y =

:

.:

Introducem o schimbare a variabilelor:

Calculul unui integral integrat

Având în vedere formulele de înlocuire,

Efectuând integrarea, obținem formula Simpson:

Valoarea obținută pentru integrala

Valoarea coincide cu zona trapezului curbilinar delimitată de axă

,

și o parabolă care trece prin puncte

Formula Simpson va arata astfel:

În formula parabola, valoarea funcției f (x) la punctele impare ale partiției x1. x3. x2n-1 are coeficientul 4, la puncte egale x2. x4. x2n-2 - coeficientul 2 și la două puncte limită x0 = a, xn = b - coeficientul 1.

Sensul geometric al formulei lui Simpson: aria de sub funcția graficului curbiliniu trapez f (x) în intervalul [a, b] se înlocuiește cu suma suprafețelor aproximate cifrelor situate sub parabole.

Dacă funcția f (x) are un derivat continuu de ordinul al patrulea pe [a, b], atunci valoarea absolută a erorii formulării Simpson nu este mai mare decât

unde M este cea mai mare valoare

pe intervalul [a, b]. Din moment ce n4 creste mai repede decat n 2. atunci eroarea formula lui Simpson scade mult mai repede cu cresterea n fata de eroarea formulei trapezoidale.

Acest integral este ușor de calculat:

Se ia n egal cu 10, h = 0,1, se calculează valorile integranei

la punctele de descompunere

, precum și puncte semi-întregi

.

Conform formulei dreptunghiuri secundare obține Ipryam = 0.785606 (eroare este egal cu 0,027%), trapez Itrap = 0.784981 (eroare de aproximativ 0,054. Când se folosește metoda din stânga și din dreapta dreptunghiuri eroare este mai mare de 3%.

Pentru a compara acuratețea formulelor aproximative, vom calcula din nou integralele

,

dar acum prin formula Simpson pentru n = 4. Se împarte intervalul [0, 1] în patru părți egale de punctele x0 = 0, x1 = 1/4 și x2 = 1/2, x3 = 3/4, x4 = 1, și se calculează valoarea aproximativă a funcției f (x) = 1 / ( 1 + x) la aceste puncte: y0 = 1,0000, 0.8000 y1 = y2 = 0.6667, = 0.5714 y3, y4 = 0,5000.

Prin formula Simpson, obținem

Estimăm eroarea rezultatului obținut. Pentru funcția integrantul f (x) = 1 / (1 + x), avem: f (4) (x) = 24 / (1 + x) 5. Rezultă că pe intervalul [0, 1]

. Prin urmare, putem lua M = 24, iar eroarea rezultatului nu depășește 24 / (2880 × 4 4) = 0.0004. Comparând valoarea aproximativă cu cea exactă, concluzionăm că eroarea absolută a rezultatului obținut de formula Simpson este mai mică de 0,00011. Acest lucru este în conformitate cu estimarea de eroare de mai sus și, în plus, indică faptul că formula Simpson este semnificativ mai precisă decât formula trapezoidală. Prin urmare, formula lui Simpson pentru calculul aproximativ al anumitor integrale este folosită mai des decât formula trapezoidală.

Compararea metodelor de precizie

Comparați metodele de precizie pentru acest scop vom calcula functia y = integrante x, y = x + 2, y = x 2. când n = 10 și n = 60, a = 0, b = 10. Valoarea exactă a integralelor este de 50, 70, respectiv 333. (3)

Tabelul 1 arată că integrala cea mai precisă este găsit prin formula Simpson, când se calculează funcția y = liniar x, y = x + 2 este realizat, de asemenea, prin metode de precizie medie prin dreptunghiuri și trapeze, dreptunghiuri metoda dreapta este mai puțin precisă. Din tabelul 1 se poate observa că, pe măsură ce numărul partițiilor n crește (numărul de integrații crește), acuratețea calculului aproximativ al integralelor

Activitate de laborator

1) Scrieți programe pentru calcularea unui integrat definit folosind metode: dreptunghiuri de mijloc, drept, trapez și metoda lui Simpson. Integrați următoarele funcții:

pe intervalul [0, 1] în pașii de

,

,

3. Realizați o variantă a sarcinii individuale (Tabelul 2)

Tabelul 2 Opțiuni individuale pentru cesiune







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: