Există seturi infinite, ale căror elemente nu pot fi renumerotate. Asemenea seturi sunt numite necunoscute.
Teorema lui Cantor. Setul tuturor punctelor din [0, 1] este nesemnificativ.
Fie setul de puncte din [0, 1] să fie numărabil. Prin urmare, aceste puncte pot fi renumerotate, adică dispuse sub forma unei secvențe x1. x2 ... xn. ....
Vom împărți intervalul [0, 1] în trei părți egale. Oriunde se află punctul x1. nu poate aparține tuturor segmentelor. . . Prin urmare, printre ele există un segment D1. care nu conține punctul x1 (Figura 1.7). Luăm acest segment D1 și îl împărțim în trei părți egale. Dintre acestea există întotdeauna un segment D2. care nu conține punctul x2. Împărțim acest segment în trei părți egale și așa mai departe. Obținem o secvență de segmente D1 É D2 É D3 É...ÉDn É.... Prin axiomul lui Cantor, el converge la un punct x pentru n .. Prin construcție, acest punct x aparține fiecărui segment D1. D2. D3, ..., Dn. ..., adică nu poate să coincidă cu niciunul dintre punctele x1. x2, ... xn. ..., adică secvența x1. x2 ... xn. ... nu epuizează toate punctele lui [0, 1], care contrazic presupunerea inițială. Teorema este dovedită.
Un set echivalent cu setul tuturor punctelor din intervalul [0, 1] se numește setul de putere al continuumului.
Deoarece seturile de puncte de intervale, segmente și întreaga linie sunt echivalente una cu cealaltă, toate au puterea continuumului.
Pentru a demonstra că un set dat are puterea unui continuu, este suficient să se indice o corespondență unu-la-unu între setul dat și setul de puncte dintr-un segment, interval sau întreaga linie.
Din fig. 1.8 rezultă că setul de puncte din parabola y = x 2 este echivalent cu setul de puncte ale liniei drepte - ¥ 
Puterea continuă poate fi de asemenea determinată folosind teoremele următoare pe seturile de cardinalitate ale unui continuum (dat fără dovadă).
Teorema 1. Setul tuturor subseturilor dintr-un set de numărare poate fi numărat.
Teoremă 2. Setul de numere iraționale are cardinalitatea continuumului.
Teorema 3. Setul tuturor punctelor din spațiul n-dimensional pentru orice n are cardinalitatea continuumului.
Teorema 4. Setul de numere complexe are cardinalitatea continuumului.
Teorema 5. Setul tuturor funcțiilor continue definite pe interval [a. b] are cardinalitatea continuumului.
Astfel, puterile seturilor infinite pot fi diferite. Puterea continuumului este mai mare decât cardinalitatea setului de numărare. Răspunsul la întrebarea dacă există seturi de putere mai mare decât puterea continuumului este dată de următoarea teoremă (dată fără dovezi).
Teorema privind seturi de cardinalitate mai mare. Setul tuturor subseturilor dintr-un set dat are o putere mai mare decât un set dat.
Din această teoremă rezultă că nu există un set cu cardinalitate maximă.
TEMA 2. RELAȚII. CARACTERISTICI
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: