Manualul electronic privind geometria
Capitolul 11. Studiul suprafețelor de ordinul doi în ecuațiile canonice
Definiția. Cazul general al unei elipsoide de revoluție (vezi capitolul 11 § 103 (1)). Suprafața de ordinul doi dat de un sistem dreptunghiular de coordonate carteziene prin ecuație
se numește un elipsoid (figura 1).
Ecuația (1) este numită ecuația canonică a unui elipsoid.
Numere pozitive a. b. c se numesc semi-axele elipsoidului. În cazul în care. atunci elipsoidul se numește triaxial. Deoarece în ecuația elipsoidului x. y. z introduceți doar în puteri egale, atunci elipsoidul este simetric față de planurile de coordonate, de origine și de axele de coordonate. Centrul de simetrie al unui elipsoid este numit centrul său. iar axele simetriei sunt axele sale. Fiecare dintre axe traversează elipsoidul la două puncte, numite vârfurile acestuia. Într-un triaxial elipsoid șase vârfuri: (a 0, 0.), (- un 0, 0.), (0, b 0.), (0, - b 0.), (0, 0, c), (0 , 0, - c). Elipsoidul se află în interiorul unui paralelipiped dreptunghiular. Prin urmare, toate secțiunile plane ale elipsoidului sunt legate de curbe de ordinul doi, adică elipse.
Să investigăm elipsoidul prin metoda secțiunii. Dacă elipsoidul dat de ecuația (1) într-un sistem de coordonate dreptunghiular. intersectează cu planul z = h. atunci proiecția secțiunii pe planul din sistemul de coordonate are ecuația
Următoarele trei cazuri sunt posibile.
1). În acest caz, în secțiune obținem o elipsă al cărei centru se află pe axă. De fapt, proiecția secțiunii pe plan are ecuație
Această ecuație definește o elipsă cu semiaxuri. Pe măsură ce semiaxurile scad și la = 0 avem :. În consecință, planul intersectează elipsoidul (1) într-o elipsă
2). Ecuația (2) ia forma. . Curba pe plan reprezintă două linii imaginare,
intersectând la punctul real (0, 0). Planul z = h are doar un punct comun cu elipsoidul - vârful elipsoidului.
3). Ecuația (10) este ecuația unei elipse imaginare. Planul z = h nu are puncte comune cu un elipsoid.
În mod similar, secțiunea transversală a elipsoid plane x = h sau y = h este o elipsă, vârful elipsoid sau gol.
Pentru a = b = c, elipsoidul este o sferă.
Notă. Orice elipsoid triaxial poate fi obținut prin comprimarea spațiului de-a lungul uneia (două) axe de coordonate de la o elipsoidă de rotație.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: