Pe această pagină vom analiza metoda de descoperire a incertitudinii formularului $ \ frac $. A doua parte a acestui subiect este dedicată descoperirii incertitudinii de $ \ frac $.
Dezvăluirea incertitudinii de $ \ frac $.
Schema de soluții pentru exemple standard de acest tip constă de obicei în două etape:
- Se descompune expresia în numărător sau numitor (sau ambele) în multiplicatori;
- Reducem factorii care duc la incertitudine și calculam valoarea limită dorită.
Mai mulți factori pot fi folositori pentru factoring, pe care îl voi scrie mai jos:
În plus, presupunem că cititorul cunoaște formulele pentru rezolvarea ecuațiilor patratice. Dacă $ x_1 $ și $ x_2 $ sunt rădăcinile trinomialului trinomial $ ax ^ 2 + bx + c $, atunci putem să îl factorizăm după următoarea formulă:
Observ că utilizarea formulelor (1) - (5) este adesea oarecum dificilă, prin urmare este mai rațional să folosim schema lui Horner. În exemplele la care ne întoarcem acum, toate cele de mai sus vor fi explicate în detaliu.
atunci în limita dată avem o incertitudine a formei $ \ frac $. Scopul transformărilor ulterioare este de a determina numărul și numitorul acestei fracții. Există două modalități: utilizarea formulelor (1) - (5) sau aplicarea schemei Horner.
Primul mod de factoring
Să aplicăm formula №3. pentru factorul expresiei $ x ^ 3 + 8 $. Înlocuind această formulă cu $ a = x $ și $ b = 2 $, avem:
Astfel, $ x ^ 3 + 8 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 4) $. Trecem la factorizarea numitorului $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $, aplicând pentru aceasta formula # 5. Pentru a aplica această formulă, trebuie mai întâi să rezolvați ecuația cuadratoare $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = 0 $:
Să simplificăm expresia $ 3 \ cdot (x + 2) \ left (x + \ frac \ right) $. Introduceți factorul $ 3 $ în al doilea bracket:
$$ 3 \ cdot (x + 2) \ stânga (x + \ frac \ dreapta) = (x + 2) \ cdot \ stânga (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac \ dreapta) = (x + 2) ( 3x + 4). $$
Deci, pentru numitor avem: $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (x + 2) (3x + 4) $. Să ne întoarcem la limita luată în considerare și să folosim rezultatele obținute:
O altă soluție este să scurtezi suportul $ (x + 2) $, care a cauzat incertitudinea $ \ frac $. După o reducere la acest nivel, rămâne doar să notăm răspunsul:
Al doilea mod de factoring
Folosim schema lui Horner. Deoarece pentru $ x = -2 $ avem $ x ^ 3 + 8 = -8 + 8 = 0 $ și $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = 12-20 + 8 = 0 $, - rădăcina polinomilor $ x ^ 3 + 8 $ și $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $. În consecință, aceste polinomalii sunt divizibile prin suportul $ (x - (- 2)) = (x + 2) $. Strict vorbind, această placă determină incertitudinea de $ \ frac $ în limita considerată. Împărțim $ x ^ 3 + 8 $ cu $ x + 2 $ folosind schema lui Horner.
$$ \ begin 1 0 0 8 \ hline -2 1 -2 4 0 \ end \\ x ^ 3 + 8 = (x - (2)) (1 \ cdot x ^ 2-2 \ cdot x + 4) = (x + 2) (x ^ 2-2x + 4). $$
Acum folosim schema lui Horner pentru împărțirea polinomului $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $ cu $ x + 2 $:
$$ \ begin 3 10 8 \ hline -2 3 4 0 \ end \\ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (x - (-2)) (3 \ cdot x + 4) = (x + 2) (3x + 4). $$
Folosind factorizările obținute, obținem:
În acest caz, pentru numitor și numitor, avem:
\ începe \ lim_ (2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28) = 2 \ cdot4 ^ 4-7 \ cdot 4 ^ 3-4 \ cdot 4 ^ 2-7 \ cdot 4 + 28 = 0; \ \ \ lim_ (5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48) = 5 \ cdot 4 ^ 3-19 \ cdot 4 ^ 2 + 8 \ cdot 4-48 = 0. \ end
Deoarece pentru $ x \ la 4 $ numerotatorul și numitorul tind simultan la zero, atunci avem de-a face cu o incertitudine a formei $ \ frac $. Pentru a descoperi această incertitudine, trebuie să determinăm polinomii în numărător și numitor. În acest scop, aplicăm schema lui Horner. Împărțim polinomul $ 2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28 $ în $ x-4 $:
$$ \ begin 2 -7 -4 -7 28 \\ hline 4 2 1 0 -7 0 \ end \\ 2 ^ 4 ^ 7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28 = (x-4) (2 \ cdot x ^ 3 + 1 \ cdot x ^ x-4) (2x ^ 3 + x ^ 2-7). $$
Acum împărțim $ 5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48 $ în $ x-4 $:
$$ \ begin 5 -19 8 -48 \ hline 4 5 1 12 (X-4) (5x ^ 2 + x + 2) = (x-4) 12). $$
Revenind la limita inițială, avem:
Este posibilă o situație în care schema Gorner va trebui aplicată de mai multe ori. Un caz similar va fi luat în considerare în exemplul nr. 3.
În acest caz, pentru numitor și numitor, avem:
Deoarece pentru $ x \ la 1 $ numerotatorul și numitorul tind simultan la zero, atunci avem de-a face cu o incertitudine a formei $ \ frac $. Pentru a descoperi această incertitudine, trebuie să determinăm polinomii în numărător și numitor. În acest scop, aplicăm schema lui Horner. Schema Horner trebuie să se aplice de mai multe ori. Începem cu polinomul $ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 $, pe care îl împărțim prin binomul $ x-1 $:
$$ \ begin 2 -5 7 -11 11 -4 \\ hline 1 2 -3 4 -7 4 0 \\ \ hline 1 2 -1 3 -4 0 \\ hline 1 2 1 4 0 \ end \\ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 = (x-1) ^ 3 \ cdot (2x ^ 2 + x + 4). $$
Aplicăm schema lui Gorner pentru împărțirea polinomului $ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + 2 $ pe binomul $ x-1 $:
$$ \ begin 9 -18 11 -4 2 \ hline 1 9 -9 2 -2 0 \\ \ hline 1 9 0 2 0 \ end \\ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + 2 = (x-1) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2 + 2). $$
Revenind la limita inițială, avem:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: