legat de proprietățile curbei date.
Vectorul este vectorul unic al tangentei punctului. Pe întreaga curbă obținem o funcție vectorială.
Un vector se numește vectorul de curbură la un punct.
se numește curbură a curbei într-un punct. Întreaga curbă este o funcție a parametrului. Deci
Teorema. O linie netedă este o linie dreaptă sau o parte din ea dacă și numai dacă.
?? ) Să fie linia sau partea ei. Apoi unde este unitatea de direcție a liniei, este un parametru natural. Să găsim.
) Fie curba u dată. Apoi. Rezolvăm acest sistem de ecuații diferențiale: unde sunt unele constante. Mai mult, unele constante. Acestea sunt ecuațiile parametrice ale unei linii drepte sau ale unei părți din ea. ??
Apoi luăm în considerare curbele cu curbură. Construim cadrul în continuare. O linie dreaptă se numește normalul principal al curbei la punctul M. Vectorul este numit vectorul unității principalei normale. Apoi sau.
Un vector se numește vectorul unității unui binormal. Acest nume este justificat de faptul că, prin definiție, produsul vectorial al vectorilor. O linie dreaptă este numită binormală.
Astfel, la un punct arbitrar M am obținut un cadru ortonormal drept, care se numește cadru canonic la punctul M sau în cadrul mișcării. Planurile de coordonate ale acestui cadru sunt numite: - un plan osculant, - un plan normal, - un plan de îndreptare.
Să găsim relațiile dintre vectorii cadrului mobil și derivații acestora.
Știm asta. Apoi, prin lema lui §1, vectorul se descompune numai de-a lungul vectorilor cadrului în mișcare :. Să găsim coeficientul. Distingem identitatea. Apoi. Substituim expresii pentru derivate: (Aici am folosit asta). Astfel, și. Rămâne pentru noi să găsim. Distingem identitatea :.
Deci, avem trei identități ,,. Ele sunt numite formule. Numărul definit la fiecare punct M al curbei se numește torsiunea curbei în acest punct. Când se schimbă punctul de pe curbă, numărul se schimbă și obținem funcția.
Să găsim formulele pentru calcularea curburii și torsiunii pentru o curbă dată în parametrizarea naturală.
După cum am văzut mai sus.
Să găsim formula pentru torsiune. Diferențiezăm prima formulă Frenet. Apoi. Calculăm produsul mixt. De unde primim.
Obținem formule pentru calcularea curburii și torsiunii unei curbe date într-o parametrizare arbitrară. Să fie o curbă netedă. Luați în considerare înlocuirea unui parametru. Apoi - ecuațiile parametrice ale curbei în parametrizarea naturală. Să găsim
Apoi. Rămâne pentru noi să obținem o formulă pentru calcularea torsiunii.
. Calculăm.
Notă. Pentru o curbă dată, vectorii definesc anumite funcții vectoriale ale lungimii arcului curbei. Deoarece u, având o curbă, obținem anumite funcții. Aceste ecuații se numesc ecuații naturale ale curbei. sunt teoreme
Teorema existenței. Fie două funcții netede și funcția nu este negativă și nu este identică cu zero. Apoi, există o curbă pentru care va exista o lungime a arcului, - curbură, - o torsiune.
Teorema unicității. Ecuațiile naturale determină curba în mod unic până la poziția din spațiu.
Cu alte cuvinte, dacă știm funcțiile u, atunci prin integrarea sistemului de ecuații Frenet găsim ecuațiile parametrice ale curbei pentru care aceste funcții sunt, respectiv, curbură și torsiune. Mai mult decât atât, toate soluțiile ecuațiilor Frenet corespunzătoare diferitelor valori ale constantelor de integrare sunt curbe congruente.
Un exemplu. Luați în considerare o linie de șurub obișnuită Se obține ca o traiectorie a unui punct care se deplasează uniform în jurul unei linii drepte și se deplasează uniform pe această linie dreaptă. Considerăm axa ca o linie dată.
Să găsim legea de mișcare a punctului M. Să ocupe poziția în timp și P proiecția ortogonală a punctului M pe plan. Atunci când M se rotește, punctul P se rotește uniform în jurul circumferinței din plan. Hai la începutul mișcării. Deoarece mișcarea este uniformă, este proporțională cu timpul de mișcare. Pentru simplitate, să luăm factorul de proporționalitate egal cu 1. Apoi.
Deoarece M se mișcă uniform în jurul axei, deplasarea ei de-a lungul proporțional cu timpul, adică.
Deci M se mută conform legii.
Evident, aceasta este o linie netedă. Într-adevăr, pentru funcțiile sale de coordonate există derivate parțiale continue ale oricărei ordini și condiția de regularitate este satisfăcută.
Să studiem proprietățile unei linii elicoidale obișnuite.
Din primele două ecuații rezultă că, pentru orice punct al curbei, curba se află pe un cilindru circular drept.
Vom găsi reperul mobil, curbura și răsucirea helixului.
. Să găsim unghiul dintre generatorul rectiliniu MR și vectorul. Calculăm. Deci, linia elicoidală traversează generatoarele rectiliniare la un unghi constant. Observăm din prima ecuație Frenet. Calculăm. Deoarece u este un vector unitar, de la ultima egalitate pe care o obținem u.
Luați în considerare un vector. De unde ajungem ca principala normală să fie perpendiculară pe axa cilindrului.
Într-adevăr ,. Deci, torsiunea este constantă, iar semnul său coincide cu semnul constant.
Notă. O linie elicoidală obișnuită este un caz particular al unei linii destul de largi de linii, numite curbele Bertrand.
Definiția. O curbă netedă se numește o curbă Bertrand dacă pentru aceasta există o altă curbă netedă și o reprezentare astfel încât în fiecare pereche de puncte corespunzătoare u să aibă o normală normală.
Proprietățile curbelor Bertrand vor fi discutate în detaliu la seminar.
pagina 1
Curbură și torsiune a curbei. Reteza Frenet
49.49kb. 1 pp.
§11. Curbură a curbei de pe suprafață. A doua formă patratică a suprafeței
47.49kb. 1 pp.
Soluția. Să calculați torsiunea acestei curbe: Găsiți. Evident. adică, curba este plat.
59.3kb. 1 pp.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: