Calculul diferențial facilitează foarte mult sarcina de a descoperi incertitudini în calculul limitelor. O metodă simplă de descoperire a incertitudinilor formei și a regulii L'Hospital. a cărui esență se află în următoarea teoremă.
Teorema. Limita raportului dintre două funcții infinit de mici sau infinit de mari ca x → x0 este limita raportului dintre derivatele lor, dacă acesta există, adică (K poate fi finit și infinit).
Un alt tip de incertitudine 0/0 poate fi descoperit printr-o altă metodă.
Norma L'Hospital poate fi aplicată în mod repetat dacă raportul derivatelor dă din nou o incertitudine sau.
Exemplul №3. Find.
Soluția.
.
Observație 1. Aplicând regula Lopital de mai multe ori, este necesar să verificați de fiecare dată dacă incertitudinea a fost deja dezvăluită, altfel se poate obține un rezultat incorect.
Observația 2. În teorema, cerința existenței este esențială, deoarece dacă nu există, atunci aceasta nu înseamnă că nici una nu există. De exemplu, - nu există, totuși.
Incertitudinile în formă și 0 · ∞ ∞-∞ utilizând transformări identice incertitudini sunt reduse la 0/0 sau ∞ / ∞ și apoi sa extins prin regula L'Hopital lui.
Incertitudinea 0 · ∞ apare dacă este necesar să se găsească în condiția respectivă. Ca urmare a transformării (sau), se obține o incertitudine de 0/0 (sau ∞ / ∞).
Dacă este necesar să găsim, cu u, atunci, prezentând diferența f (x) - g (x) =, obținem incertitudinea 0/0. Incertitudinile formulei 0 0. 1 ∞. ∞ 0 prin logaritmul expresiei [f (x)] g (x) se reduce la incertitudinea 0 · ∞ considerată mai sus.
Exemplul №4. Find.
Soluția. Aici avem incertitudinea 0 · ∞. Rescriem această expresie în formă.
Acum putem aplica regulile L'Hospital:
.
Exemplul №6. Find.
Soluția. Această expresie este o incertitudine a formei ∞-∞. Transformați-l într-o altă formă:
Exemplul №8. Find.
Soluția. Aici indeterminarea este de forma 0 0. Noi denotăm y = x x și logaritmul: lny = x · lnx, de unde prin continuitatea funcției logaritmice (exemplul 4). Deci, de unde, adică .
Exemplul №9. Find.
Soluția. Avem incertitudinea 1 ∞. care ar putea fi descoperite cu ajutorul unei a doua limite remarcabile, dar ilustrăm o altă tehnică. Apoi, denotăm
.
Apoi, după definirea logaritmului.
Exemplul №10. Găsiți limita folosind regula Lompital-Bernoulli :.
Soluția.
Funcția f (x) = ln (x) este diferențiată pe întregul domeniu al definiției, funcția (X) = x 3 este diferențiabil pentru orice x în R, ca x → ∞; x 3 → ∞. Avem ambiguitate. Aplicăm regula Lompital-Bernoulli:
.
Exemplul №11. Găsiți limita folosind regula L'Hospital-Bernoulli:
.
Soluția. Logarim funcția
,
obținem:
.
Funcțiile ln (x) și ln (e x -1) pot fi diferențiate pe (0; + ∞). Aplicăm regula Lopital-Bernoulli pentru incertitudinea:
.
Calculează limita prin aplicarea regulii L'Hospital.
Soluția. Reglajul "L'Hospital" permite dezvăluirii incertitudinii 0/0 și ∞ / ∞.
Pentru exemplul nostru:
Aplicăm regula lui L'Hospital, care afirmă că limita raportului funcțional este limita raportului dintre derivatele sale.
Pentru exemplul nostru:
f (x) = π-2arctg (x)
g (x) = 1 / x
Vom găsi primul derivat
g '(x) = -1 / x2
f '(x) = 2x
g '(x) = 2x
Răspuns: 2
Trimiteți-le prietenilor: